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3 • Séries entières
3.1.4. Soient
a n z n et
b n z n des séries entières et λ ∈ C. On définit :
(i) La série entière somme
c n z n de ces séries par c n = a n + b n pour tout n ∈ N.
(ii) La série entière
d n z produit de
a n z n par λ en posant d n = λa n pour tout
n ∈ N.
(iii) La série entière produit
e n z n de ces deux séries par e n =
n
k=0 a k b n−k pour
tout n ∈ N.
3.2 RAYON DE CONVERGENCE
Théorème 3.2.1. (Lemme d’Abel). Soient
a n z n une série entière et z 0 ∈ C. On
suppose que la suite (a n z n
0 ) n est bornée. Alors, la série
a n z n est normalement
convergente dans tout disque D (0, r), avec r < |z 0 |.
Démonstration. On peut supposer z 0 = 0. Soit M un majorant de la suite (|a n z n
0 |) n
et r un réel positif tel que r < |z 0 |. Si |z| r, on a :
|a n z
n
| =
a n z
n
0
z
z 0
n
M
z
z 0
n M
r
z 0
n
.
D’où le résultat d’après 1.3.9.
Corollaire 3.2.2. Si la série entière
a n z n converge pour z 0 ∈ C, elle converge
normalement dans tout disque D (0, r) tel que r < |z 0 |.
Démonstration. Si la série
a n z n
0 converge, la suite (a n z n
0 ) n admet 0 pour limite,
donc est bornée.
Théorème 3.2.3. Soit
a n z n une série entière. Il existe un unique élément R de
R + ∪ {+∞} possédant les propriétés suivantes :
(i) Pour tout z ∈ C tel que |z| < R, la série
a n z n est absolument convergente.
(ii) Pour tout z ∈ C tel que |z| > R, la série
a n z n est divergente.
On dit que R est le rayon de convergence de la série, que D(0, R) en est le disque de
convergence, et que C(0, R) en est le cercle de convergence.
Démonstration. Soit B l’ensemble des réels positifs ou nuls tels que la suite (a n r n ) n
soit bornée. On a 0 ∈ B. Soit R ∈ R + ∪ {+∞} la borne supérieure de B.
• Soit z ∈ C vérifiant |z| < R. Il existe r ∈ B tel que |z| < r < R. La suite (a n r n ) n
étant bornée, la série
a n z n est absolument convergente d’après 3.2.1.
• Soit z ∈ C tel que |z| > R. Si la série
a n z n était convergente, la suite (a n |z| n ) n
serait bornée (1.3.6). Cela contredit la définition de R.
• L’unicité de R est évidente.
3.2.4. Précisons quelques points.
1) En un point z tel que |z| > R, la suite (a n z n ) n n’est pas bornée.
3 • Séries entières
3.1.4. Soient
a n z n et
b n z n des séries entières et λ ∈ C. On définit :
(i) La série entière somme
c n z n de ces séries par c n = a n + b n pour tout n ∈ N.
(ii) La série entière
d n z produit de
a n z n par λ en posant d n = λa n pour tout
n ∈ N.
(iii) La série entière produit
e n z n de ces deux séries par e n =
n
k=0 a k b n−k pour
tout n ∈ N.
3.2 RAYON DE CONVERGENCE
Théorème 3.2.1. (Lemme d’Abel). Soient
a n z n une série entière et z 0 ∈ C. On
suppose que la suite (a n z n
0 ) n est bornée. Alors, la série
a n z n est normalement
convergente dans tout disque D (0, r), avec r < |z 0 |.
Démonstration. On peut supposer z 0 = 0. Soit M un majorant de la suite (|a n z n
0 |) n
et r un réel positif tel que r < |z 0 |. Si |z| r, on a :
|a n z
n
| =
a n z
n
0
z
z 0
n
M
z
z 0
n M
r
z 0
n
.
D’où le résultat d’après 1.3.9.
Corollaire 3.2.2. Si la série entière
a n z n converge pour z 0 ∈ C, elle converge
normalement dans tout disque D (0, r) tel que r < |z 0 |.
Démonstration. Si la série
a n z n
0 converge, la suite (a n z n
0 ) n admet 0 pour limite,
donc est bornée.
Théorème 3.2.3. Soit
a n z n une série entière. Il existe un unique élément R de
R + ∪ {+∞} possédant les propriétés suivantes :
(i) Pour tout z ∈ C tel que |z| < R, la série
a n z n est absolument convergente.
(ii) Pour tout z ∈ C tel que |z| > R, la série
a n z n est divergente.
On dit que R est le rayon de convergence de la série, que D(0, R) en est le disque de
convergence, et que C(0, R) en est le cercle de convergence.
Démonstration. Soit B l’ensemble des réels positifs ou nuls tels que la suite (a n r n ) n
soit bornée. On a 0 ∈ B. Soit R ∈ R + ∪ {+∞} la borne supérieure de B.
• Soit z ∈ C vérifiant |z| < R. Il existe r ∈ B tel que |z| < r < R. La suite (a n r n ) n
étant bornée, la série
a n z n est absolument convergente d’après 3.2.1.
• Soit z ∈ C tel que |z| > R. Si la série
a n z n était convergente, la suite (a n |z| n ) n
serait bornée (1.3.6). Cela contredit la définition de R.
• L’unicité de R est évidente.
3.2.4. Précisons quelques points.
1) En un point z tel que |z| > R, la suite (a n z n ) n n’est pas bornée.