© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Chapitre 3
Séries entières
3.1 GÉNÉRALITÉS
3.1.1. Soient z 0 ∈ C et r ∈ R ∗
+ . On pose :
D(z 0 , r) = {z ∈ C ; |z − z 0 | < r} , D
(z 0 , r) = {z ∈ C ; |z − z 0 | r},
C(z 0 , r) = {z ∈ C ; |z − z 0 | = r}.
On dit que D(z 0 , r) (respectivement D (z 0 , r), C(z 0 , r)) est le disque ouvert (respectivement disque fermé, cercle) de centre z 0 et de rayon r.
Définition 3.1.2. On appelle série entière de la variable complexe toute série de
fonctions
f n , avec
f n : C → C , z → a n z
n ,
où a n ∈ C pour tout n ∈ N. On dit que a n est le coefficient d’indice n de la série, et
que a 0 en est le terme constant.
3.1.3. La série entière précédente sera notée
a n z n .
On parlera de série entière de variable réelle lorsqu’il sera question d’une série de
fonctions
f n , avec f n : R → C, t → a n t n , où a n ∈ C.
Dans la suite, sauf mention expresse du contraire, l’expression « série entière » signifiera « série entière de la variable complexe ».
Chapitre 3
Séries entières
3.1 GÉNÉRALITÉS
3.1.1. Soient z 0 ∈ C et r ∈ R ∗
+ . On pose :
D(z 0 , r) = {z ∈ C ; |z − z 0 | < r} , D
(z 0 , r) = {z ∈ C ; |z − z 0 | r},
C(z 0 , r) = {z ∈ C ; |z − z 0 | = r}.
On dit que D(z 0 , r) (respectivement D (z 0 , r), C(z 0 , r)) est le disque ouvert (respectivement disque fermé, cercle) de centre z 0 et de rayon r.
Définition 3.1.2. On appelle série entière de la variable complexe toute série de
fonctions
f n , avec
f n : C → C , z → a n z
n ,
où a n ∈ C pour tout n ∈ N. On dit que a n est le coefficient d’indice n de la série, et
que a 0 en est le terme constant.
3.1.3. La série entière précédente sera notée
a n z n .
On parlera de série entière de variable réelle lorsqu’il sera question d’une série de
fonctions
f n , avec f n : R → C, t → a n t n , où a n ∈ C.
Dans la suite, sauf mention expresse du contraire, l’expression « série entière » signifiera « série entière de la variable complexe ».