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2 • Suites et séries de fonctions
Exercice 2.7. Pour t > 0 et n ∈ N ∗ , posons :
u n (t) =
(ln t) n
n!
·
Si K est un compact de ]0, +∞[, il existe A > 0 tel que | ln t| A pour tout t ∈ K.
Il en résulte que la série
u n est normalement convergente sur K. Si x > 0, on aura
donc :
∞
n=1
x
1
u n (t) dt =
x
1
∞
n=1
u n (t)
dt.
Or, si t > 0 :
∞
n=1
u n (t) = e
ln t
− 1 = t − 1.
D’où :
∞
n=1
1
n!
x
0
(ln t)
n dt =
(x − 1) 2
2
·