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Solutions des exercices
33
Si A = sup{|f (t)| ; t ∈ [0, 1]}, on a donc, pour 0 t 1 :
|g n (t)|
A
n!
e
nx = A
(e x ) n
n!
·
Ainsi, x étant fixé, la série
g n est normalement convergente sur [0, 1]. On en déduit
en particulier que
1
0
∞
n=1
g n (t)
dt =
∞
n=1
1
0
g n (t) dt,
soit encore :
1
0
f (t) dt −
1
0
exp[−e
x(1−t) ]f (t) dt =
∞
n=1
(−1) n−1
n!
1
0
e
nx(1−t) f (t) dt.
Soit ε ∈ ]0, 1[. On a :
1
1−ε
exp[−e
x(1−t) ]f (t) dt
1−ε
|f (t)| dt εA,
1−ε
0
exp[−e
x(1−t) ]f (t) dt
A
1
0
exp(−e
xε ) dt = A exp(−e
xε ).
Or, si x est assez grand, on a exp(−e xε ) ε. D’où facilement le résultat.
Exercice 2.6. Si n ∈ N ∗ et (x, y) ∈ R 2 , on a 0 f n (x, y) n −2 . Par suite, la
série
f n est normalement, donc uniformément convergente sur R 2 . Les f n étant
continues, il en est de même de F .
Posons :
g n (t) = −2
x
n
exp(−nx
2 ).
Il vient :
g
n (t) =
4x
2
−
2
n
exp(−nx
2 ).
On en déduit que g n est extrémale pour t = ±1/
√
2n, puis que :
|g n (t)|
√
2/ne
√
n = An
−3/2 .
Il vient alors facilement :
∂f n
∂x
(x, y)
An
−3/2 ,
∂f n
∂y
(x, y)
An
−3/2 .
Ceci montre que les séries de fonctions de termes généraux
∂f n
∂x
et
∂f n
∂y
sont normalement (donc uniformément) convergentes sur R 2 . Par conséquent, F admet des
dérivées partielles continues sur R 2 . Il en résulte que F est de classe C 1 sur R 2 .