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2 • Suites et séries de fonctions
Comme S(a) = 0, on obtient donc :
S(x) = e
x
x
a
f (t)e
−t dt.
Exercice 2.2. Pour toute application g : R → C, posons g = sup{|g(x)| ; x ∈ R}.
D’après les hypothèses, il existe un entier N tel que P n − P N 1 dès que n N .
Si n N , le polynôme P n − P N est donc constant. Ainsi, il existe α n ∈ C tel que
P n = P N + α n pour n N . Il est alors immédiat que f est une fonction polynôme.
Exercice 2.3.
1. Si 0 a < 1, on a lim n na n = 0. On en déduit que (f n ) n converge simplement
vers l’application nulle sur [0, 1]. D’autre part :
f n
1
n
=
1 −
1
n
n →
1
e
·
La convergence vers 0 de la suite (f n ) n n’est donc pas uniforme sur [0, 1].
Soit a ∈ ]0, 1]. Si a t 1, on a |f n (t)| n(1 − a) n . Par conséquent, la suite (f n ) n
converge uniformément vers 0 sur [a, 1].
2. On voit comme en 1 que g est l’application nulle. L’intégrale de g sur [0, 1] est donc
égale à 0. Il vient :
1
0
g n (t) dt =
n 2
n + 1
− t(1 − t)
n+1
1
0
+
n 2
n + 1
1
0
(1 − t)
n+1 dt
=
n 2
(n + 1)(n + 2)
→ 1 si n → +∞.
On déduit en particulier de ceci que la convergence de g n vers 0 n’est pas uniforme
sur [0, 1].
Exercice 2.4. Soient a, b ∈ R, A = a(1 + a 2 ) −1 , et B = b(1 + b 2 ) −1 . Il vient :
|A − B| =
|a − b||1 − ab|
(1 + a 2 )(1 + b 2 )
|a − b|,
car (1 + a 2 )(1 + b 2 ) 1 + a 2 + b 2 1 + |ab| |1 − ab|.
On a ainsi sup{|g n (t) − g p (t)| ; t ∈ I} sup{|f n (t) − f p (t)| ; t ∈ I}. Le résultat
est donc une conséquence du critère de Cauchy uniforme.
Exercice 2.5. Le réel x > 0 étant fixé, définissons
g n : [0, 1] → R , t →
(−1) n−1
n!
f (t)e
nx(1−t) .