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Solutions des exercices
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Exercice 2.4. Soient I un intervalle de R et (f n ) n une suite d’applications sur I, à
valeurs réelles, et convergeant uniformément sur I. On pose g n = f n (1 + f 2
n ) −1 .
Montrer que la suite (g n ) n converge uniformément sur I.
Exercice 2.5. Soit f : [0, 1] → R une application continue. Etablir :
1
0
f (t) dt = lim
x→+∞
∞
n=1
(1) n−1
n!
1
0
e
(nx(1−t) f (t) dt
.
Exercice 2.6. Pour n ∈ N ∗ et (x, y) ∈ R 2 , on pose :
f n (x, y) =
1
n 2 e
−n(x
2 +y
2 ) .
Etudier la convergence de la série
∞
n=1 f n et la différentiabilité de la somme F de
cette série.
Exercice 2.7. Existence et calcul pour x > 0 de
∞
n=1
1
n!
x
0
(ln t)
n dt.
SOLUTIONS DES EXERCICES
Exercice 2.1. Fixons un réel A 0 vérifiant |f (x)| A pour tout x ∈ [a, b]. On a
|f 1 (x)| A(x − a). Si l’on suppose que |f n−1 (x)| A(x − a) n−1 [(n − 1)!] −1 , il
est immédiat de vérifier que |f n (x)| A(x − a) n [n!] −1 .
On a donc |f n (x)| A(b − a) n [n!] −1 pour x ∈ [a, b] et n 0. Ceci prouve que la
série
f n est normalement convergente sur [a, b].
Pour n 1, f n est dérivable, et f
n = f n−1 . Les calculs précédents prouvent que la
série
f
n est uniformément convergente sur [a, b]. Par suite, S est dérivable sur [a, b]
et, si x ∈ [a, b] :
S
(x) =
∞
n=1
f
n (x) =
∞
n=0
f n (x) = f (x) + S(x).
D’où :
S(x) − S
(x) = f (x) ⇒ [S(x)e
−x ]
= f (x)e
−x
⇒ S(x)e
−x
− S(a)e
−a =
x
a
f (t)e
−t dt.