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2 • Suites et séries de fonctions
(ii) La suite g converge uniformément sur X vers la fonction nulle.
(iii) Il existe M ∈ R + tel que, pour tout n ∈ N, on ait :
sup
n
k=0
h k (x)
; x ∈ X
M.
Alors la série de fonctions
g n h n converge uniformément sur X.
Démonstration. Posons f n = g n h n et H n = h 0 + h 1 + · · · + h n . On a :
r
k=1
f n+k =
r
k=1
g n+k (H n+k − H n+k−1 )
= −H n g n+1 + g n+r H n+r +
r−1
k=1
(g n+k − g n+k+1 )H n+k .
D’après (i) et (iii), si x ∈ X, on a donc :
r
k=1
f n+k (x)
2Mg r+1 (x).
D’où le résultat d’après (ii) et le critère de Cauchy.
EXERCICES
Exercice 2.1. Soient a, b des nombres réels vérifiant a < b et f : [a, b] → R une
application continue. On pose f 0 = f et on définit, par récurrence, une application
f n : [a, b] → R en posant, si x ∈ [a, b] :
f n (x) =
x
a
f n−1 (t) dt.
Prouver la convergence de la série de fonctions
∞
n=1 f n , et calculer la somme S de
cette série.
Exercice 2.2. Soit (P n ) n une suite de fonctions polynômes convergeant uniformément
sur R vers une application f . Prouver que f est une fonction polynôme.
Exercice 2.3. Si t ∈ [0, 1] et n 1, on pose f n (t) = nt(1 − t) n et g n (t) = nf n (t).
1. Etudier la convergence de la suite (f n ) n .
2. Soit g = lim n g n . Comparer
1
0
g(t) dt et lim
n
1
0
g n (t) dt.
2 • Suites et séries de fonctions
(ii) La suite g converge uniformément sur X vers la fonction nulle.
(iii) Il existe M ∈ R + tel que, pour tout n ∈ N, on ait :
sup
n
k=0
h k (x)
; x ∈ X
M.
Alors la série de fonctions
g n h n converge uniformément sur X.
Démonstration. Posons f n = g n h n et H n = h 0 + h 1 + · · · + h n . On a :
r
k=1
f n+k =
r
k=1
g n+k (H n+k − H n+k−1 )
= −H n g n+1 + g n+r H n+r +
r−1
k=1
(g n+k − g n+k+1 )H n+k .
D’après (i) et (iii), si x ∈ X, on a donc :
r
k=1
f n+k (x)
2Mg r+1 (x).
D’où le résultat d’après (ii) et le critère de Cauchy.
EXERCICES
Exercice 2.1. Soient a, b des nombres réels vérifiant a < b et f : [a, b] → R une
application continue. On pose f 0 = f et on définit, par récurrence, une application
f n : [a, b] → R en posant, si x ∈ [a, b] :
f n (x) =
x
a
f n−1 (t) dt.
Prouver la convergence de la série de fonctions
∞
n=1 f n , et calculer la somme S de
cette série.
Exercice 2.2. Soit (P n ) n une suite de fonctions polynômes convergeant uniformément
sur R vers une application f . Prouver que f est une fonction polynôme.
Exercice 2.3. Si t ∈ [0, 1] et n 1, on pose f n (t) = nt(1 − t) n et g n (t) = nf n (t).
1. Etudier la convergence de la suite (f n ) n .
2. Soit g = lim n g n . Comparer
1
0
g(t) dt et lim
n
1
0
g n (t) dt.