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2.7 Convergence normale
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Théorème 2.6.5. Soient I un intervalle de R et
f n une série de fonctions sur I
vérifiant les conditions suivantes :
(i) Les fonctions f n sont dérivables sur I.
(ii) La série
f
n est uniformément convergente sur I.
(iii) Il existe α ∈ I tel que la série
f n (α) converge.
Alors la série
f n converge simplement sur I, cette convergence étant uniforme sur
toute partie bornée de I. La fonction somme de cette série est dérivable sur I et, si
x ∈ I, on a :
∞
n=0
f n
(x) =
∞
n=0
f
n (x).
Théorème 2.6.6. Soient [a, b] un intervalle de R et
f n une série de fonctions
intégrables sur [a, b]. On suppose que la série
f n converge uniformément sur [a, b].
Alors la somme de cette série est intégrable sur [a, b] et :
b
a
∞
n=0
f n
(t) dt =
∞
n=0
b
a
f n (t) dt.
Proposition 2.6.7. Soit
f n une série de fonctions sur X. Si la série
|f n | converge
uniformément sur X, il en est de même de la série
f n .
Démonstration. Si n, p ∈ N et x ∈ X, on a :
|f n (x) + f n+1 (x) + · · · + f n+p (x)| |f n (x)| + |f n+1 (x)| + · · · + |f n+p (x)|.
Il suffit donc d’appliquer le critère de Cauchy uniforme.
2.7 CONVERGENCE NORMALE
Définition 2.7.1. Une série de fonctions
f n sur X est dite normalement convergente sur X s’il existe une série
µ n à termes réels positifs ou nuls vérifiant les
conditions suivantes :
(i) La série
µ n est convergente.
(ii) Pour tout n ∈ N, on a sup{|f n (x)| ; x ∈ X} µ n .
Théorème 2.7.2. Si une série de fonctions sur une partie X de K est normalement
convergente sur X, elle est uniformément convergente sur X.
Démonstration. C’est immédiat d’après le critère de Cauchy uniforme.
Théorème 2.7.3. Soient g = (g n ) n et h = (h n ) n des suites de fonctions sur X
vérifiant les conditions suivantes :
(i) Pour tout x ∈ X, la suite
g n (x)
n
est à termes réels et décroissante.