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2 • Suites et séries de fonctions
2.6 SÉRIES DE FONCTIONS
Définition 2.6.1. Soit f = (f n ) n une suite de fonctions sur X. On appelle série de
fonctions de terme général f n , et on note
f n , la suite de fonctions
f n ,
n
k=0
f k
n
.
L’élément f 0 + · · · + f n est noté F n , et on dit que F = (F n ) n est la suite de fonctions
associée à la série
f n .
On dit que la série
f n converge simplement (respectivement uniformément) sur X
si la suite F converge simplement (respectivement uniformément) sur X.
On dit que la série
f n vérifie le critère de Cauchy uniforme si la suite F vérifie ce
critère.
2.6.2. Conservons les notations précédentes.
• Dire que
f n converge simplement sur X signifie que, pour tout x ∈ X, la série
f n (x) converge. Si c’est le cas, on dispose de la fonction
F : X → C , x →
∞
n=0
f n (x),
qui est la limite simple de F. Cette application est appelée la somme de la série
f n .
On peut aussi considérer la suite de fonctions r = (r n ) n donnée par :
r n (x) =
∞
k=n+1
f k (x).
• D’après les définitions
f n converge uniformément sur X si et seulement si la suite
r converge uniformément sur X vers la fonction nulle.
• Dire que
f n vérifie le critère de Cauchy uniforme signifie : pour tout ε > 0, il
existe N ∈ N tel que :
n N, p ∈ N ⇒ sup
p
k=1
f n+k (x)
; x ∈ X
ε.
2.6.3. Le résultat suivant ainsi que ceux de 2.6.4, 2.6.5, 2.6.6, sont des traductions, en
termes de séries de fonctions, de résultats vus pour les suites de fonctions.
Théorème. Une série de fonctions sur X converge uniformément sur X si et seulement si elle vérifie le critère de Cauchy uniforme sur X.
Théorème 2.6.4. Soient X une partie de K,
f n une série de fonctions sur X
convergeant uniformément sur X, et F la somme de cette série.
(i) Soit a ∈ X. Si les f n sont continues au point a, F est continue en a.
(ii) Si les f n sont continues sur X, F est continue sur X.
2 • Suites et séries de fonctions
2.6 SÉRIES DE FONCTIONS
Définition 2.6.1. Soit f = (f n ) n une suite de fonctions sur X. On appelle série de
fonctions de terme général f n , et on note
f n , la suite de fonctions
f n ,
n
k=0
f k
n
.
L’élément f 0 + · · · + f n est noté F n , et on dit que F = (F n ) n est la suite de fonctions
associée à la série
f n .
On dit que la série
f n converge simplement (respectivement uniformément) sur X
si la suite F converge simplement (respectivement uniformément) sur X.
On dit que la série
f n vérifie le critère de Cauchy uniforme si la suite F vérifie ce
critère.
2.6.2. Conservons les notations précédentes.
• Dire que
f n converge simplement sur X signifie que, pour tout x ∈ X, la série
f n (x) converge. Si c’est le cas, on dispose de la fonction
F : X → C , x →
∞
n=0
f n (x),
qui est la limite simple de F. Cette application est appelée la somme de la série
f n .
On peut aussi considérer la suite de fonctions r = (r n ) n donnée par :
r n (x) =
∞
k=n+1
f k (x).
• D’après les définitions
f n converge uniformément sur X si et seulement si la suite
r converge uniformément sur X vers la fonction nulle.
• Dire que
f n vérifie le critère de Cauchy uniforme signifie : pour tout ε > 0, il
existe N ∈ N tel que :
n N, p ∈ N ⇒ sup
p
k=1
f n+k (x)
; x ∈ X
ε.
2.6.3. Le résultat suivant ainsi que ceux de 2.6.4, 2.6.5, 2.6.6, sont des traductions, en
termes de séries de fonctions, de résultats vus pour les suites de fonctions.
Théorème. Une série de fonctions sur X converge uniformément sur X si et seulement si elle vérifie le critère de Cauchy uniforme sur X.
Théorème 2.6.4. Soient X une partie de K,
f n une série de fonctions sur X
convergeant uniformément sur X, et F la somme de cette série.
(i) Soit a ∈ X. Si les f n sont continues au point a, F est continue en a.
(ii) Si les f n sont continues sur X, F est continue sur X.