© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
2.5 Intégrabilité
27
2.5 INTÉGRABILITÉ
2.5.1. Soient a, b ∈ R tels que a < b, et f : [a, b] → R une application bornée.
Soit σ = (x i ) 0ip une subdivision de [a, b]. Notons M i et m i les bornes supérieure
et inférieure de f sur [x i−1 , x i ], 1 i p. Les sommes de Darboux relatives à f et σ
sont définies par :
S(f, σ) =
p
i=1
(x i − x i−1 )M i , s(f, σ) =
p
i=1
(x i − x i−1 )m i .
Rappelons que f est intégrale sur [a, b] (au sens de Riemann) si et seulement si, pour
tout ε > 0, il existe une subdivision σ de [a, b] telle que :
S(f, σ) − s(f, σ) ε.
Théorème 2.5.2. Soient [a, b] un intervalle de R et f = (f n ) n une suite d’applications
intégrables de [a, b] dans R. On suppose que la suite f converge uniformément sur
[a, b] vers une application f . Alors f est intégrable sur [a, b], et :
b
a
f (t) dt = lim
n
b
a
f n (t) dt.
Démonstration. Si n ∈ N, posons µ n = sup{|f n (t) − f (t)| ; t ∈ [a, b]}.
Soit ε > 0. Il existe N ∈ N tel que µ N
ε
4(b − a)
· On voit en particulier que f est
bornée sur [a, b]. Soit σ = (x i ) 0ip une subdivision de [a, b] telle que
S(f N , σ) − s(f N , σ)
ε
2
·
Notons M i et m i (respectivement M
i et m
i ) les bornes supérieure et inférieure de f N
(respectivement f ) sur [x i−1 , x i ]. Il vient :
M
i M i +
ε
4(b − a)
, m
i m i −
ε
4(b − a)
·
Par suite :
S(f, σ) − s(f, σ) S(f N , σ) − s(f N , σ) +
ε
2(b − a)
p
i=1
(x i − x i−1 ) ε.
On a prouvé que f est intégrable sur [a, b]. Pour n ∈ N, on a alors :
b
a
f (t) dt −
b
a
f n (t) dt
b
a
|f (t) − f n (t)| dt (b − a)µ n .
D’où la dernière assertion.
Remarque. Le théorème 2.5.2 ne s’étend pas aux intégrales impropres.
2.5 Intégrabilité
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2.5 INTÉGRABILITÉ
2.5.1. Soient a, b ∈ R tels que a < b, et f : [a, b] → R une application bornée.
Soit σ = (x i ) 0ip une subdivision de [a, b]. Notons M i et m i les bornes supérieure
et inférieure de f sur [x i−1 , x i ], 1 i p. Les sommes de Darboux relatives à f et σ
sont définies par :
S(f, σ) =
p
i=1
(x i − x i−1 )M i , s(f, σ) =
p
i=1
(x i − x i−1 )m i .
Rappelons que f est intégrale sur [a, b] (au sens de Riemann) si et seulement si, pour
tout ε > 0, il existe une subdivision σ de [a, b] telle que :
S(f, σ) − s(f, σ) ε.
Théorème 2.5.2. Soient [a, b] un intervalle de R et f = (f n ) n une suite d’applications
intégrables de [a, b] dans R. On suppose que la suite f converge uniformément sur
[a, b] vers une application f . Alors f est intégrable sur [a, b], et :
b
a
f (t) dt = lim
n
b
a
f n (t) dt.
Démonstration. Si n ∈ N, posons µ n = sup{|f n (t) − f (t)| ; t ∈ [a, b]}.
Soit ε > 0. Il existe N ∈ N tel que µ N
ε
4(b − a)
· On voit en particulier que f est
bornée sur [a, b]. Soit σ = (x i ) 0ip une subdivision de [a, b] telle que
S(f N , σ) − s(f N , σ)
ε
2
·
Notons M i et m i (respectivement M
i et m
i ) les bornes supérieure et inférieure de f N
(respectivement f ) sur [x i−1 , x i ]. Il vient :
M
i M i +
ε
4(b − a)
, m
i m i −
ε
4(b − a)
·
Par suite :
S(f, σ) − s(f, σ) S(f N , σ) − s(f N , σ) +
ε
2(b − a)
p
i=1
(x i − x i−1 ) ε.
On a prouvé que f est intégrable sur [a, b]. Pour n ∈ N, on a alors :
b
a
f (t) dt −
b
a
f n (t) dt
b
a
|f (t) − f n (t)| dt (b − a)µ n .
D’où la dernière assertion.
Remarque. Le théorème 2.5.2 ne s’étend pas aux intégrales impropres.