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2 • Suites et séries de fonctions
(ii) La suite g = (f
n ) n converge uniformément sur I vers une fonction g.
(iii) Il existe α ∈ I tel que la suite
f n (α)
n
converge.
Alors la suite f converge simplement sur I vers une fonction f , et cette convergence
est uniforme sur toute partie bornée de I. En outre, f est dérivable sur I, et f = g.
Démonstration. 1) Soit ε > 0. D’après 2.2.3, il existe P ∈ N tel que :
m P, n P ⇒ sup{|f
n (t) − f
m (t)| ; t ∈ I} ε.
(1)
D’autre part, la suite
f n (α)
n
étant convergente, il existe Q ∈ N tel que :
m Q, n Q ⇒ |f m (α) − f n (α)| ε.
Soit N = max{P, Q}. D’après (1) et 2.4.1, si t ∈ I, m N , et n N , on a :
|
f m (t) − f n (t)
−
f m (α) − f n (α)
| 2ε|t − α|.
D’où, dans les mêmes conditions :
|f m (t) − f n (t)| |f m (α) − f n (α)| + 2ε|t − α| ε + 2ε|t − α|.
Compte tenu de 2.2.3, on voit donc que f converge uniformément sur toute partie
bornée de I. Notons f la limite des f n .
2) Soit a ∈ I définissons une suite h = (h n ) n de fonctions sur I par :
h n (a) = f
n (a) , h n (t) =
f n (t) − f n (a)
t − a
si t = a.
Par construction, les fonctions h n sont continues sur I.
Soit h : I → C définie par :
h(a) = g(a) , h(t) =
f (t) − f (a)
t − a
si t = a.
La fonction h est limite simple des h n .
Soient ε > 0 et P ∈ N comme dans le point 1. D’après 2.4.1, si t ∈ I, m P , et
n P , on a :
|
f m (t) − f n (t)
−
f m (a) − f n (a)
| 2ε|t − a|.
On en déduit, si t = a :
|h m (t) − h n (a)| 2ε.
D’après (1), c’est encore vrai si t = a. Ainsi, h vérifie le critère de Cauchy uniforme
sur I. Comme h converge simplement vers h sur I, on en déduit que h converge
uniformément vers h sur I. Alors, d’après 2.3.2, h est continue sur I. En particulier, h
est continue au point a, donc :
lim
t→a
f (t) − f (a)
t − a
= g(a).
On a prouvé que f est dérivable en a, et que f (a) = g(a).
Remarque. On sait que, sur [−1, 1], la fonction x → |x| est limite uniforme
d’une suite de fonctions polynomiales. Ceci montre qu’une limite uniforme de
fonctions dérivables peut ne pas être dérivable.
2 • Suites et séries de fonctions
(ii) La suite g = (f
n ) n converge uniformément sur I vers une fonction g.
(iii) Il existe α ∈ I tel que la suite
f n (α)
n
converge.
Alors la suite f converge simplement sur I vers une fonction f , et cette convergence
est uniforme sur toute partie bornée de I. En outre, f est dérivable sur I, et f = g.
Démonstration. 1) Soit ε > 0. D’après 2.2.3, il existe P ∈ N tel que :
m P, n P ⇒ sup{|f
n (t) − f
m (t)| ; t ∈ I} ε.
(1)
D’autre part, la suite
f n (α)
n
étant convergente, il existe Q ∈ N tel que :
m Q, n Q ⇒ |f m (α) − f n (α)| ε.
Soit N = max{P, Q}. D’après (1) et 2.4.1, si t ∈ I, m N , et n N , on a :
|
f m (t) − f n (t)
−
f m (α) − f n (α)
| 2ε|t − α|.
D’où, dans les mêmes conditions :
|f m (t) − f n (t)| |f m (α) − f n (α)| + 2ε|t − α| ε + 2ε|t − α|.
Compte tenu de 2.2.3, on voit donc que f converge uniformément sur toute partie
bornée de I. Notons f la limite des f n .
2) Soit a ∈ I définissons une suite h = (h n ) n de fonctions sur I par :
h n (a) = f
n (a) , h n (t) =
f n (t) − f n (a)
t − a
si t = a.
Par construction, les fonctions h n sont continues sur I.
Soit h : I → C définie par :
h(a) = g(a) , h(t) =
f (t) − f (a)
t − a
si t = a.
La fonction h est limite simple des h n .
Soient ε > 0 et P ∈ N comme dans le point 1. D’après 2.4.1, si t ∈ I, m P , et
n P , on a :
|
f m (t) − f n (t)
−
f m (a) − f n (a)
| 2ε|t − a|.
On en déduit, si t = a :
|h m (t) − h n (a)| 2ε.
D’après (1), c’est encore vrai si t = a. Ainsi, h vérifie le critère de Cauchy uniforme
sur I. Comme h converge simplement vers h sur I, on en déduit que h converge
uniformément vers h sur I. Alors, d’après 2.3.2, h est continue sur I. En particulier, h
est continue au point a, donc :
lim
t→a
f (t) − f (a)
t − a
= g(a).
On a prouvé que f est dérivable en a, et que f (a) = g(a).
Remarque. On sait que, sur [−1, 1], la fonction x → |x| est limite uniforme
d’une suite de fonctions polynomiales. Ceci montre qu’une limite uniforme de
fonctions dérivables peut ne pas être dérivable.