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2.3 Continuité
25
2.3 CONTINUITÉ
2.3.1. On désigne par E un espace métrique.
Théorème 2.3.2. Soient a ∈ E et f = (f n ) n une suite de fonctions sur E. On suppose
que les f n sont continues en a et que f converge uniformément vers une fonction f sur
E. Alors f est continue en a.
Démonstration. Fixons un réel ε > 0. Il existe un entier N 0 tel que l’on ait
sup{|f N (x) − f (x)| ; x ∈ E} ε. Comme f N est continue en a, il existe un
voisinage V de a dans E tel que x ∈ V implique |f N (x) − f N (a)| ε. Alors, si
x ∈ V , il vient :
|f (x) − f (a)| |f (x) − f N (x)| + |f N (x) − f N (a)| + |f N (a) − f (a)| 3ε.
D’où l’assertion.
Corollaire 2.3.3. Si une suite de fonctions continues sur E converge uniformément
sur E, sa limite est continue sur E.
Corollaire 2.3.4. Soit f une suite de fonctions continues sur E convergeant simplement vers une fonction f sur E. On suppose que, pour tout a ∈ E, il existe un
voisinage de a sur lequel f converge uniformément. Alors f est continue sur E.
Démonstration. Résulte de 2.3.2 et du caractère local de la continuité.
2.4 DÉRIVABILITÉ
Lemme 2.4.1. Soient I un intervalle de R et f une fonction dérivable sur I. On
suppose qu’il existe A ∈ R + tel que |f (t)| A pour tout t ∈ I. Alors, pour a, b ∈ I,
on a |f (b) − f (c)| 2A|b − a|.
Démonstration. Notons g (respectivement h) la partie réelle (respectivement partie
imaginaire) de f . D’après le théorème des accroissements finis, il existe c, d compris
entre a et b tels que :
g(b) − g(a) = (b − a)g
(c) , h(b) − h(a) = (b − a)h
(d).
On en déduit :
|f (b) − f (a)| |g(b) − g(a)| + |h(b) − h(a)| = |b − a|(|g
(c)| + |h
(d)|)
2A|b − a|.
D’où le lemme.
Théorème 2.4.2. Soient I un intervalle de R et f = (f n ) n une suite de fonctions sur
I vérifiant les conditions suivantes :
(i) Toutes les fonctions f n sont dérivables sur I.
2.3 Continuité
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2.3 CONTINUITÉ
2.3.1. On désigne par E un espace métrique.
Théorème 2.3.2. Soient a ∈ E et f = (f n ) n une suite de fonctions sur E. On suppose
que les f n sont continues en a et que f converge uniformément vers une fonction f sur
E. Alors f est continue en a.
Démonstration. Fixons un réel ε > 0. Il existe un entier N 0 tel que l’on ait
sup{|f N (x) − f (x)| ; x ∈ E} ε. Comme f N est continue en a, il existe un
voisinage V de a dans E tel que x ∈ V implique |f N (x) − f N (a)| ε. Alors, si
x ∈ V , il vient :
|f (x) − f (a)| |f (x) − f N (x)| + |f N (x) − f N (a)| + |f N (a) − f (a)| 3ε.
D’où l’assertion.
Corollaire 2.3.3. Si une suite de fonctions continues sur E converge uniformément
sur E, sa limite est continue sur E.
Corollaire 2.3.4. Soit f une suite de fonctions continues sur E convergeant simplement vers une fonction f sur E. On suppose que, pour tout a ∈ E, il existe un
voisinage de a sur lequel f converge uniformément. Alors f est continue sur E.
Démonstration. Résulte de 2.3.2 et du caractère local de la continuité.
2.4 DÉRIVABILITÉ
Lemme 2.4.1. Soient I un intervalle de R et f une fonction dérivable sur I. On
suppose qu’il existe A ∈ R + tel que |f (t)| A pour tout t ∈ I. Alors, pour a, b ∈ I,
on a |f (b) − f (c)| 2A|b − a|.
Démonstration. Notons g (respectivement h) la partie réelle (respectivement partie
imaginaire) de f . D’après le théorème des accroissements finis, il existe c, d compris
entre a et b tels que :
g(b) − g(a) = (b − a)g
(c) , h(b) − h(a) = (b − a)h
(d).
On en déduit :
|f (b) − f (a)| |g(b) − g(a)| + |h(b) − h(a)| = |b − a|(|g
(c)| + |h
(d)|)
2A|b − a|.
D’où le lemme.
Théorème 2.4.2. Soient I un intervalle de R et f = (f n ) n une suite de fonctions sur
I vérifiant les conditions suivantes :
(i) Toutes les fonctions f n sont dérivables sur I.