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2 • Suites et séries de fonctions
2.1.4. Le corps K étant complet, on a le résultat suivant :
Théorème 2.1.5. Soient X un ensemble et f = (f n ) n une suite de fonctions sur X.
Les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) La suite f converge simplement sur X.
(ii) Pour tout x ∈ X, la suite
f n (x)
n
est une suite de Cauchy.
2.2 CONVERGENCE UNIFORME
Définition 2.2.1. On dit qu’une suite f = (f n ) n de fonctions sur X converge uniformément s’il existe une fonction f sur X telle que, pour tout ε > 0, on puisse
déterminer N ∈ N tel que, pour tout n N :
sup{|f n (x) − f (x)| ; x ∈ X} ε.
S’il en est ainsi, on dit que f est la limite uniforme de f ou des f n sur X.
Remarque. Si f est la limite uniforme de f sur X, c’est aussi la limite
simple de f sur X. Par contre, il est bien connu qu’une suite de fonctions
peut converger simplement sans converger uniformément.
Définition 2.2.2. Soit f = (f n ) n une suite de fonctions sur X. On dit que f vérifie le
critère de Cauchy uniforme sur X si, pour tout ε > 0, il existe N ∈ N tel que :
m N, n N ⇒ sup{|f m (x) − f n (x)| ; x ∈ X} ε.
Théorème 2.2.3. Soient X un ensemble et f = (f n ) n une suite de fonctions sur X.
Les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) La suite f converge uniformément sur X.
(ii) La suite f vérifie le critère de Cauchy uniforme sur X.
Démonstration. (i) ⇒ (ii) Supposons (i) vérifié, et soit ε > 0. Il existe N ∈ N tel
que :
n N ⇒ sup{|f (x) − f n (x)| ; x ∈ X} ε.
On obtient alors (ii) car, si m N , n N , il vient :
sup{|f n (x) − f m (x)| ; x ∈ X} 2ε.
(ii) ⇒ (i) Si (ii) est vérifié, pour tout x ∈ X, la suite (f n (x)) n est de Cauchy, donc a
une limite f (x) ∈ K. Soit ε > 0. Il existe N ∈ N tel que, pour tout x ∈ X, on ait :
m N, n N ⇒ |f n (x) − f m (x)| ε.
En faisant tendre m vers +∞, on obtient
n N ⇒ |f (x) − f n (x)| ε
pour tout x ∈ X. Par suite, f converge uniformément vers f sur X.
2 • Suites et séries de fonctions
2.1.4. Le corps K étant complet, on a le résultat suivant :
Théorème 2.1.5. Soient X un ensemble et f = (f n ) n une suite de fonctions sur X.
Les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) La suite f converge simplement sur X.
(ii) Pour tout x ∈ X, la suite
f n (x)
n
est une suite de Cauchy.
2.2 CONVERGENCE UNIFORME
Définition 2.2.1. On dit qu’une suite f = (f n ) n de fonctions sur X converge uniformément s’il existe une fonction f sur X telle que, pour tout ε > 0, on puisse
déterminer N ∈ N tel que, pour tout n N :
sup{|f n (x) − f (x)| ; x ∈ X} ε.
S’il en est ainsi, on dit que f est la limite uniforme de f ou des f n sur X.
Remarque. Si f est la limite uniforme de f sur X, c’est aussi la limite
simple de f sur X. Par contre, il est bien connu qu’une suite de fonctions
peut converger simplement sans converger uniformément.
Définition 2.2.2. Soit f = (f n ) n une suite de fonctions sur X. On dit que f vérifie le
critère de Cauchy uniforme sur X si, pour tout ε > 0, il existe N ∈ N tel que :
m N, n N ⇒ sup{|f m (x) − f n (x)| ; x ∈ X} ε.
Théorème 2.2.3. Soient X un ensemble et f = (f n ) n une suite de fonctions sur X.
Les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) La suite f converge uniformément sur X.
(ii) La suite f vérifie le critère de Cauchy uniforme sur X.
Démonstration. (i) ⇒ (ii) Supposons (i) vérifié, et soit ε > 0. Il existe N ∈ N tel
que :
n N ⇒ sup{|f (x) − f n (x)| ; x ∈ X} ε.
On obtient alors (ii) car, si m N , n N , il vient :
sup{|f n (x) − f m (x)| ; x ∈ X} 2ε.
(ii) ⇒ (i) Si (ii) est vérifié, pour tout x ∈ X, la suite (f n (x)) n est de Cauchy, donc a
une limite f (x) ∈ K. Soit ε > 0. Il existe N ∈ N tel que, pour tout x ∈ X, on ait :
m N, n N ⇒ |f n (x) − f m (x)| ε.
En faisant tendre m vers +∞, on obtient
n N ⇒ |f (x) − f n (x)| ε
pour tout x ∈ X. Par suite, f converge uniformément vers f sur X.