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Chapitre 2
Suites et séries de fonctions
On désigne par X un ensemble et par K le corps des réels ou celui des
complexes. Une application de X dans K sera aussi appelée une fonction sur X.
2.1 CONVERGENCE SIMPLE
Définition 2.1.1. Soit f = (f n ) n une suite de fonctions sur X. On dit que f converge
simplement sur X si, pour tout x ∈ X, la suite
f n (x)
n
est convergente.
2.1.2. Supposons que f = (f n ) n converge simplement sur X. Pour tout x ∈ X, la
suite
f n (x)
n
a une limite f (x) ∈ K, ce qui définit une fonction f sur X. On dit que
f est la limite simple de f (ou des f n ), ou que f converge simplement vers f sur X.
La convergence simple de f vers f sur X s’écrit : pour tout x ∈ X et tout ε > 0, il
existe N ∈ N tel que |f (x) − f n (x)| ε dès que n N . En général, l’entier N
dépend de x.
2.1.3. Soit toujours f = (f n ) n une suite de fonctions sur X. Si Y est une partie de X,
notons g = (f n |Y ) n . Par abus de langage, on dit que f converge simplement sur Y si
g converge simplement sur Y .