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1 • Séries numériques
SOLUTIONS DES EXERCICES
Exercice 1.1. Le résultat est clair si M = 0. Supposons ce cas exclu. Il est immédiat
que u n (b − a) 1/n M pour tout n. On en déduit que lim sup u M .
Soit ε ∈ ]0, M[. L’application f étant continue, par définition de M , il existe des réels
c, d vérifiant a c < d b et f (t) M − ε pour tout t ∈ [c, d]. Alors
u n
d
c
[f (t)]
n dt
1/n (d − c)
1/n (M − ε).
D’où lim inf u M − ε. Ceci étant vrai pour ε ∈ ]0, M[, on obtient lim inf u M .
Comme lim inf u lim sup u, il vient lim inf u = lim sup u, et on conclut d’après
1.2.6.
Exercice 1.2. Ecrivons (2 +
√
3) n = N + N √
3, avec N, N ∈ N. On a alors
(2 −
√
3) n = N − N √
3. D’où π(2 +
√
3) n = 2πN − π(2 −
√
3) n . Par suite, si l’on
pose v n = sin[π(2 −
√
3) n ], il vient u n = −v n . Or, comme 0 < 2 −
√
3 < 1, on a
0 < v n < π(2 −
√
3) n . On en déduit la convergence de
v n puis de
u n .
Exercice 1.3. Si u n ne tend pas vers 0 quand n tend vers +∞, la série
u n est
divergente. Supposons que lim u n = 0. Alors u n ∼ − ln(1 − u n ), ce qui s’écrit
−u n ∼ ln(D n−1 /D n ). Or
−
n
k=1
ln(1 − u k ) = − ln D 0 + ln D n → +∞
si n → +∞. Par suite, la série
u n diverge.
Pour n 1, on a :
v n =
D n − D n−1
D α
n
Dn
Dn−1
dt
t α ·
Comme α > 1, pour tout N ∈ N, on a donc
N
n=1
v n
+∞
d0
dt
t α < +∞,
ce qui montre que la série
v n est convergente.
Exercice 1.4.
1. Si n est assez grand, R n−1 < 1. Si a 0, on a donc 0 v n u n pour n assez
grand. D’où la convergence de
v n .