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Solutions des exercices
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2. Supposons a = 1. Si v n ne tend pas vers 0 quand n tend vers +∞, il y a divergence
de la série
v n . Supposons lim v n = 0. Dans ce cas, au voisinage de +∞, on a :
v n ∼ − ln(1 − v n ) = ln
R n−1
R n
·
Or :
n
k=2
x k = ln R 1 − ln R n → +∞.
Il y a divergence de la série
v n .
Si a > 1, dès que R n−1 < 1, on a
v n >
u n
R n−1
·
D’où à nouveau divergence de la série d’après ce qui précède.
3. Supposons 0 < a < 1. On a :
v n =
R n−1 − R n
R α
n−1
Rn−1
Rn
dt
t α .
On en déduit que, pour N 1,
N
n=1
v n
R0
0
dt
t α < +∞
d’après l’hypothèse sur α. La série
v n est convergente.
Exercice 1.5. On a ou α n = α n+1 , ou α n+1 = 1 + α n .
• Si α n = α n+1 , on a u n+1 /u n = a. Si α n+1 = 1 + α n , il vient u n+1 /u n = b αn+1 ,
et ce dernier terme peut être rendu arbitrairement grand avec n. On en déduit que le
rapport u n+1 /u n n’a pas de limite quand n tend vers +∞, et on ne peut conclure
quant à la convergence de la série.
• Si 10 p n < 10 p+1 , on a α n = p. D’où :
p
10 p+1 <
α n
n
p
10 p ·
On en déduit facilement :
lim
α n
n
= lim
α n (α n + 1)
n
= 0.
Par suite
n
√ u n = a
1−(αn/n) b
αn(αn+1)/2n
→ a
si n → +∞. La série est donc convergente puisque a < 1.