© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Exercices
19
EXERCICES
Exercice 1.1. Soient a, b des réels tels que a < b, f : [a, b] → R + une application
continue, et M la borne supérieure de f sur [a, b]. Si n ∈ N ∗ , on pose :
u n =
b
a
[f (t)]
n dt
1/n
.
Prouver que la suite u = (u n ) n converge vers M .
Exercice 1.2. Nature de la série
u n , avec u n = sin[π(2 +
√
3) n ].
Exercice 1.3. Soit
d n une série divergente à termes réels strictement positifs. On
pose D n =
n
n=0 d k , u n = d n /D n , et v n = d n /(D n ) α , avec α réel strictement plus
grand que 1. Etudier les séries
u n et
v n .
Exercice 1.4. Soit
u n une série convergente à termes réels strictement positifs. On
pose R n =
+∞
n+1 u p et v n = u n /(R n−1 ) a , où a ∈ R.
1. Si a 0, prouver la convergence de
v n .
2. En étudiant x n = − ln(1 − v n ), montrer la divergence de
v n pour a = 1, puis
pour a > 1.
3. En utilisant une intégrale, prouver la convergence de
v n si 0 < a < 1.
Exercice 1.5. Soient a, b ∈ R tels que 0 < a < 1 < b. Si n ∈ N ∗ , on note α n le
nombre de chiffres dans l’écriture décimale de n. Comparer les règles de Cauchy et de
d’Alembert en les appliquant à la série de terme général
u n = a
n−αn b
αn(1+αn)/2 .
Exercice 1.6. Soit (a n ) n1 une suite réelle. On pose α n =
a 1 + · · · + a n
n
. On
suppose que la série
a 2
n est convergente. Prouver qu’il en est de même de la série
α 2
n et que :
∞
n=1
α
2
n 4
∞
n=1
a
2
n .
Exercice 1.7. Soit p n le n
ème nombre premier. Déterminer la nature de la série de
terme général 1/p n .