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1 • Séries numériques
Théorème 1.11.3. Soient a ∈ R et f : [a, +∞[→ C localement intégrable. On
suppose qu’il existe une suite (x n ) n d’éléments de [a, +∞[ vérifiant les conditions
suivantes :
(i) La suite (x n ) n est croissante et tend vers +∞ si n tend vers +∞.
(ii) La série de terme général u n =
xn+1
xn
f (t) dt est convergente.
(iii)
xn+1
xn
|f (t)| dt tend vers 0 si n tend vers +∞.
Alors l’intégrale de f sur [a, +∞[ converge.
Démonstration. On peut supposer (x n ) n strictement croissante. Si y x 0 , il existe
un unique entier p(y) tel que x p(y) y < x p(y)+1 . Il est clair que p(y) tend vers +∞
si y tend vers +∞. On a :
y
a
f (t) dt =
x0
a
f (t) dt +
p(y)−1
k=0
u k +
y
xp(y)
f (t) dt.
D’autre part :
y
xp(y)
f (t) dt
y
xp(y)
|f (t)| dt
xp(y)+1
xp(y)
|f (t)| dt.
D’après les hypothèses, l’intégrale de f sur [a, +∞[ est donc convergente.
Corollaire 1.11.4. Soient a ∈ R et f : [a, +∞[→ R localement intégrable, à valeurs
positives ou nulles. Les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) L’intégrale de f sur [a, +∞[ est convergente.
(ii) Il existe une suite croissante (x n ) n d’éléments de [a, +∞[, de limite +∞, telle que
la série de terme général u n =
xn+1
xn
f (t) dt converge.
Démonstration. On a ici
u n =
xn+1
xn
f (t) dt =
xn+1
xn
|f (t)| dt,
et cette dernière intégrale tend vers 0 si n tend vers +∞, car la série
u n est convergente.