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1.11 Intégrales et séries
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Remarque. Soient
u n une série réelle semi-convergente et λ ∈ R. On peut
montrer qu’il existe une permutation σ de N telle que :
lim
n
n
k=0
u σ(k) = λ.
Théorème 1.10.8. Une série est commutativement convergente si et seulement si elle
est absolument convergente.
Démonstration. C’est immédiat d’après 1.8.3, 1.10.6 et 1.10.7.
1.11 INTÉGRALES ET SÉRIES
Théorème 1.11.1. Soient a ∈ R et f : [a, +∞[→ R à valeurs positives ou nulles et
décroissante. La série
f (a + n) et l’intégrale
+∞
a
f (t) dt sont de même nature.
Démonstration. Comme f est à valeurs positives ou nulles, l’intégrale en question
converge si et seulement si la suite
a+n
a
f (t) dt
n
converge. Pour n 1, on a :
a+n+1
a+n
f (t) dt f (a + n)
n
a+n−1
f (t) dt.
Alors :
a+n+1
a+1
f (t) dt
n
k=1
f (a + k)
a+n
a
f (t) dt.
D’où immédiatement l’assertion.
Théorème 1.11.2. Soient a ∈ R et f : [a, +∞[→ C localement intégrable. Les
conditions suivantes sont équivalentes :
(i) L’intégrale de f sur [a, +∞[ est convergente.
(ii) Pour toute suite (x n ) n de points de [a, +∞[ de limite +∞, la série de terme
général
xn+1
xn
f (t) dt est convergente.
Démonstration. Pour x a, posons F (x) =
x
a
f (t) dt. On sait que F (x) a une
limite dans C si et seulement si, pour toute suite (x n ) n d’éléments de [a, +∞[, de
limite +∞, la suite
F (x n )
n
est convergente. Or :
F (x n ) =
x0
a
f (t) dt +
n−1
k=0
xk+1
xk
f (t) ,dt.
D’où le résultat.