16
1 • Séries numériques
Démonstration. Soit σ une permutation de N. Notons v n = u σ(n) , w n = |v n |. Si l’on
pose θ(n) = max{σ(k) ; 0 k n}, il vient :
n
k=0
|v k |
θ(n)
k=0
|u k |
∞
k=0
|u k |.
On en déduit que la série
w n est convergente et que W U , où U est la somme
de la série
|u n |. Changeant alors σ en σ −1 , on obtient W = U .
Soit I(n) = {0, 1, . . . , θ(n)}\{σ(0), σ(1), . . . , σ(n)}. Il vient :
|U θ(n) − V n |
k∈I(n)
|u k | =
θ(n)
k=0
|u k | −
n
k=0
|u σ(n) |.
Or, d’après ce qui précède, le dernier terme de la ligne précédente tend vers
U − W = 0 quand n tend vers +∞. On en déduit que U = V . D’où le résultat.
Lemme 1.10.7. Soit
u n une série réelle semi-convergente. La série
u n n’est pas
commutativement convergente.
Démonstration. D’après 1.8.3, les séries
u +
n et
u −
n sont divergentes. On en
déduit que I = {n ∈ N ; u n > 0} et J = {n ∈ N ; u n 0} sont des parties
infinies de N. On peut donc définir des applications strictement croissantes α : N → I
et β : N → J par α(0) = min I, β(0) = min J et, pour n 1 :
α(n) = min(I\{α(0), . . . , α(n − 1)}) , β(n) = J\{β(0), . . . , β(n − 1)}).
Posons v n = u α(n) , w n = u β(n) . Ainsi, v n (respectivement w n ) est le (n + 1)
ème
élément strictement positif (respectivement négatif ou nul) de la suite (u n ) n .
On va construire une permutation σ de N telle que la série
u σ(n) diverge.
D’après les hypothèses, on a :
lim
n
V n = +∞ , lim
n
W n = −∞.
Il existe donc n 0 ∈ N tel que V n0 −w 0 . On pose :
σ(k) = α(k) si 0 k n 0 , σ(n 0 + 1) = β(0).
Soit p ∈ N ∗ . Supposons construits les σ(k) pour k n p−1 + p. Utilisant à nouveau
le fait que V n tend vers +∞ si n tend vers +∞, il existe n p tel que n p > n p−1 et
V np −W p + p. On pose :
σ(k) = α(k − p) si n p−1 + p < k n p + p , σ(n p + p + 1) = β(p).
On détermine ainsi σ sur {0, 1, . . . , n p + p + 1}.
Comme I ∪ J = N et I ∩ J = ∅, on voit que l’application σ construite précédemment
est une permutation de N. En outre, par construction de σ, on a
np+p+1
k=0
u σ(k) p
pour p ∈ N ∗ . Par suite, la série
u σ(n) diverge.
1 • Séries numériques
Démonstration. Soit σ une permutation de N. Notons v n = u σ(n) , w n = |v n |. Si l’on
pose θ(n) = max{σ(k) ; 0 k n}, il vient :
n
k=0
|v k |
θ(n)
k=0
|u k |
∞
k=0
|u k |.
On en déduit que la série
w n est convergente et que W U , où U est la somme
de la série
|u n |. Changeant alors σ en σ −1 , on obtient W = U .
Soit I(n) = {0, 1, . . . , θ(n)}\{σ(0), σ(1), . . . , σ(n)}. Il vient :
|U θ(n) − V n |
k∈I(n)
|u k | =
θ(n)
k=0
|u k | −
n
k=0
|u σ(n) |.
Or, d’après ce qui précède, le dernier terme de la ligne précédente tend vers
U − W = 0 quand n tend vers +∞. On en déduit que U = V . D’où le résultat.
Lemme 1.10.7. Soit
u n une série réelle semi-convergente. La série
u n n’est pas
commutativement convergente.
Démonstration. D’après 1.8.3, les séries
u +
n et
u −
n sont divergentes. On en
déduit que I = {n ∈ N ; u n > 0} et J = {n ∈ N ; u n 0} sont des parties
infinies de N. On peut donc définir des applications strictement croissantes α : N → I
et β : N → J par α(0) = min I, β(0) = min J et, pour n 1 :
α(n) = min(I\{α(0), . . . , α(n − 1)}) , β(n) = J\{β(0), . . . , β(n − 1)}).
Posons v n = u α(n) , w n = u β(n) . Ainsi, v n (respectivement w n ) est le (n + 1)
ème
élément strictement positif (respectivement négatif ou nul) de la suite (u n ) n .
On va construire une permutation σ de N telle que la série
u σ(n) diverge.
D’après les hypothèses, on a :
lim
n
V n = +∞ , lim
n
W n = −∞.
Il existe donc n 0 ∈ N tel que V n0 −w 0 . On pose :
σ(k) = α(k) si 0 k n 0 , σ(n 0 + 1) = β(0).
Soit p ∈ N ∗ . Supposons construits les σ(k) pour k n p−1 + p. Utilisant à nouveau
le fait que V n tend vers +∞ si n tend vers +∞, il existe n p tel que n p > n p−1 et
V np −W p + p. On pose :
σ(k) = α(k − p) si n p−1 + p < k n p + p , σ(n p + p + 1) = β(p).
On détermine ainsi σ sur {0, 1, . . . , n p + p + 1}.
Comme I ∪ J = N et I ∩ J = ∅, on voit que l’application σ construite précédemment
est une permutation de N. En outre, par construction de σ, on a
np+p+1
k=0
u σ(k) p
pour p ∈ N ∗ . Par suite, la série
u σ(n) diverge.