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1.10 Convergence associative ou commutative
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D’autre part, n − ν
θ(n)
< ν
1 + θ(n)
− ν
θ(n)
M . D’où :
|U n − V | |U n − U ν(θ(n)) | + |U ν(θ(n)) − V | = |U n − U ν(θ(n)) | + |V θ(n) − V |
|V θ(n) − V | +
n
k=1+ν(θ(n))
|u n | |V θ(n) − V | + δ n ,
avec δ n = max{|u k | ; ν
θ(n)
< k n}. D’après les hypothèses et ce qui précède,
on voit donc que U n tend vers V quand n tend vers +∞.
Remarque. Le théorème 1.10.1 est parfois appelé le théorème de sommation
par tranches.
Définition 1.10.2. On dit que deux séries
u n et
v n ne diffèrent que par l’ordre
des termes s’il existe une permutation σ de N telle que v n = u σ(n) pour tout n ∈ N.
1.10.3. La série
(−1) n+1 n −1/2 est convergente. La série suivante n’en diffère que
par l’ordre des termes :
1 +
1
√
3
−
1
√
2
+
1
√
5
+
1
√
7
−
1
√
4
+ · · · +
1
√
4n − 3
+
1
√
4n − 1
−
1
√
2n
+ · · ·
D’après 1.10.1, cette dernière série est de même nature que
v n , avec :
v n =
1
√
4n − 3
+
1
√
4n − 1
−
1
√
2n
∼
√
2 − 1
√
2n
·
On voit donc que
v n diverge.
1.10.4. Prenons u n = (−1) n+1 n −1 , n 1. On a vu que U = ln 2 (1.8.2). La série
suivante ne diffère de
u n que par l’ordre des termes :
1 −
1
2
−
1
4
+
1
3
−
1
6
−
1
8
+ · · · +
1
2n + 1
−
1
2(2n + 1)
−
1
2(2n + 2)
+ · · ·
D’après 1.10.1, cette série converge et a même somme que la série
1
2
−
1
4
+
1
6
−
1
8
+ · · · +
1
2(2n + 1)
−
1
2(2n + 2)
+ · · ·
c’est-à-dire (ln 2)/2. Ainsi, les deux séries sont convergentes, mais n’ont pas la même
somme.
Définition 1.10.5. Une série
u n est dite commutativement convergente si la série
u σ(n) est convergente pour toute permutation σ de N.
Théorème 1.10.6. Si
u n est une série absolument convergente, elle est commutativement convergente et, pour toute permutation σ de N, on a :
∞
n=0
u σ(n) =
∞
n=0
u n .