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1 • Séries numériques
On en déduit que W 2n → UV si n → +∞. Pour obtenir le résultat, il suffit donc de
prouver que w 2n → 0 si n → +∞. Si n N , on a
w 2n = u 0 v 2n + · · · + u N v 2n−N + u N +1 v 2n−N −1 + · · · + u 2n v 0 .
D’où :
|w 2n | M (|v 2n | + · · · + |v 2n−N |) + ε(|v 0 | + · · · + |v 2n−N −1 |) 2εM.
On a obtenu l’assertion.
Remarque. La série produit de deux séries semi-convergentes peut être divergente.
1.10 CONVERGENCE ASSOCIATIVE OU COMMUTATIVE
Théorème 1.10.1. Soient
u n une série et ν : N → N une application strictement
croissante. On note :
v 0 =
ν(0)
k=0
u k , v n =
ν(n)
k=1+ν(n−1)
u k si n 1.
(i) Si la série
u n converge, il en est de même de la série
v n , et ces deux séries
ont même somme.
(ii) On suppose que l’une ou l’autre des conditions suivantes est réalisée :
a) u n ∈ R + pour tout n ∈ N.
b) La suite (u n ) n converge vers 0 et il existe M > 0 tel que ν(n+1)−ν(n) M
pour tout n ∈ N.
Alors, si la série
v n converge, la série
u n converge aussi.
Démonstration. Les hypothèses impliquent que ν(n) n pour tout n ∈ N.
(i) Comme V n = U ν(n) , si la suite (U n ) n converge, la suite extraite (V n ) n converge
vers la même limite.
(ii) Si u n ∈ R + pour tout n ∈ N, la suite (U n ) n est croissante. Elle converge si et
seulement si la suite extraite (V n ) n converge.
Supposons désormais les hypothèses de b) vérifiées. Pour tout n ∈ N ∗ , il existe un
unique entier θ(n) tel que :
ν
θ(n)
n < ν
1 + θ(n)
.
Une récurrence facile montre que ν(p + 1) ν(1) + Mp si p ∈ N. On a alors :
n < ν(1) + Mθ(n) , lim
n
θ(n) = +∞ , lim
n
ν
θ(n)
= +∞.