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1.9 Série produit
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Compte tenu des hypothèses, on obtient :
q
n=p
u n
Mα p + M (α p − α p+1 ) + · · · + M (α q−1 − α q ) + Mα q = 2Mα p .
D’où le résultat puisque α p → 0 si p → +∞.
Remarque. Le fait de remplacer v n par V n − V n−1 dans
α n v n est appelé la
transformation d’Abel.
1.8.5. Pour θ ∈ R non multiple entier de 2π, posons v n = e inθ . Il vient :
|V n | =
e i(n+1)θ − 1
e iθ − 1
2
|e iθ − 1|
=
sin
θ
2
−1
.
D’après 1.8.4, si (α n ) n est une suite décroissante de réels de limite nulle, la série
α n v n converge pour θ ∈ R\2πZ.
1.9 SÉRIE PRODUIT
Définition 1.9.1. La série produit de deux séries
u n et
v n est la série
w n où,
pour tout n ∈ N :
w n =
n
k=0
u k v n−k .
Théorème 1.9.2. (Théorème de Mertens). Soient
u n une série convergente,
v n
une série absolument convergente, et
w n leur série produit. La série
w n est
convergente et :
∞
n=0
w n =
∞
n=0
u n
∞
n=0
v n
.
Démonstration. Soit ε > 0. D’après le critère de Cauchy, il existe N ∈ N tel que,
pour tout n N et tout p ∈ N, on ait :
|u n + u n+1 + · · · + u n+p | ε , |v n | + |v n+1 | + · · · + |v n+p | ε.
D’autre part, il existe M > 0 tel que |u n | M , |U n | M , et |v 0 | + · · · + |v n | M
pour tout n ∈ N. Si 0 k n − 1, posons :
s k = u k (v n+1 + v n+2 + · · · + v 2n−k ) , t k = v k (u n+1 + u n+2 + · · · + u 2n−k ).
Pour n N , il vient facilement |t 0 + t 1 + · · · + t n−1 | Mε. D’autre part :
s 0 + · · · + s n−1 = v n+1 U n−1 + v n+2 U n−2 + · · · + v 2n U 0 .
Par conséquent, si n N , on obtient aussi |s 0 + s 1 + · · · + s n−1 | Mε. Or :
W 2n − U n V n = s 0 + · · · + s n−1 + t 0 + · · · + t n−1 .