12
1 • Séries numériques
1.8 SÉRIES SEMI-CONVERGENTES
Définition 1.8.1. Une série est dite semi-convergente si elle est convergente sans être
absolument convergente.
1.8.2. L’exemple précédent nous montre que, pour 0 < α 1, la série de terme
général u n =
(−1) n
n α est semi-convergente. Précisons si α = 1. On a
1
1 + t
= 1 − t + t
2 + · · · + (−1)
n t
n + (1)
n+1 t n+1
1 + t
pour 0 t 1 et n ∈ N. En intégrant entre 0 et 1, on obtient alors :
ln 2 = 1 −
1
2
+
1
3
+ · · · +
(−1) n
n + 1
+ (−1)
n+1
1
0
t n+1
1 + t
dt.
Comme
0
1
0
t n+1
1 + t
dt
1
0
t
n+1 dt =
1
n + 2
,
on retrouve que la série converge si α = 1, et que sa somme est ln 2.
1.8.3. Soit
u n une série semi-convergente.
• Supposons la série à termes réels. Avec les notations de 1.5.2, il vient :
u n = u
+
n − u
−
n , |u n | = u
+
n + u
−
n .
La première égalité montre que les séries
u +
n et
u −
n sont de même nature. La
seconde prouve qu’elles sont divergentes.
• Supposons la série à termes complexes. Alors les séries
Re(u n ) et
Im(u n )
sont convergentes. Comme |u n | | Re(u n )| + | Im(u n )|, on voit que l’une au moins
de ces deux séries n’est pas absolument convergente.
Théorème 1.8.4. Soient (v n ) n une suite de nombres complexes et (α n ) n une suite de
nombres réels positifs vérifiant les conditions suivantes :
(i) La suite (α n ) n est décroissante de limite nulle.
(ii) La suite (V n ) n , avec V n = v 0 + · · · + v n , est bornée.
Alors la série
α n v n est convergente.
Démonstration. Notons u n = α n v n , et soit M > 0 vérifiant |V n | M pour tout n.
On va prouver que la série
u n vérifie le critère de Cauchy.
Remarquons que v n = V n − V n−1 si n 1. D’où, si 1 p q :
q
n=p
u n = α p (V p − V p−1 ) + α p+1 (V p+1 − V p ) + · · · + α q (V q − V q−1 )
= −V p−1 α p + V p (α p − α p+1 ) + · · · + V q−1 (α q−1 − α q ) + V q α q .
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1.8 SÉRIES SEMI-CONVERGENTES
Définition 1.8.1. Une série est dite semi-convergente si elle est convergente sans être
absolument convergente.
1.8.2. L’exemple précédent nous montre que, pour 0 < α 1, la série de terme
général u n =
(−1) n
n α est semi-convergente. Précisons si α = 1. On a
1
1 + t
= 1 − t + t
2 + · · · + (−1)
n t
n + (1)
n+1 t n+1
1 + t
pour 0 t 1 et n ∈ N. En intégrant entre 0 et 1, on obtient alors :
ln 2 = 1 −
1
2
+
1
3
+ · · · +
(−1) n
n + 1
+ (−1)
n+1
1
0
t n+1
1 + t
dt.
Comme
0
1
0
t n+1
1 + t
dt
1
0
t
n+1 dt =
1
n + 2
,
on retrouve que la série converge si α = 1, et que sa somme est ln 2.
1.8.3. Soit
u n une série semi-convergente.
• Supposons la série à termes réels. Avec les notations de 1.5.2, il vient :
u n = u
+
n − u
−
n , |u n | = u
+
n + u
−
n .
La première égalité montre que les séries
u +
n et
u −
n sont de même nature. La
seconde prouve qu’elles sont divergentes.
• Supposons la série à termes complexes. Alors les séries
Re(u n ) et
Im(u n )
sont convergentes. Comme |u n | | Re(u n )| + | Im(u n )|, on voit que l’une au moins
de ces deux séries n’est pas absolument convergente.
Théorème 1.8.4. Soient (v n ) n une suite de nombres complexes et (α n ) n une suite de
nombres réels positifs vérifiant les conditions suivantes :
(i) La suite (α n ) n est décroissante de limite nulle.
(ii) La suite (V n ) n , avec V n = v 0 + · · · + v n , est bornée.
Alors la série
α n v n est convergente.
Démonstration. Notons u n = α n v n , et soit M > 0 vérifiant |V n | M pour tout n.
On va prouver que la série
u n vérifie le critère de Cauchy.
Remarquons que v n = V n − V n−1 si n 1. D’où, si 1 p q :
q
n=p
u n = α p (V p − V p−1 ) + α p+1 (V p+1 − V p ) + · · · + α q (V q − V q−1 )
= −V p−1 α p + V p (α p − α p+1 ) + · · · + V q−1 (α q−1 − α q ) + V q α q .