© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
1.7 Séries alternées
11
1.6.5. Pour n ∈ N et z ∈ C, posons u n (z) =
z n
n!
·
• Si n 1, on a u n (0) = 0, et la série
u n (0) est convergente, de somme égale à 1.
• Supposons z = 0. Alors :
|u n+1 |
|u n |
=
|z|
n + 1
→ 0 si n → +∞.
D’après 1.6.4,
u n (z) converge absolument pour tout z ∈ C. La somme de cette
série est notée e z :
e
z =
∞
n=0
z n
n!
·
La série précédente est appelée la série exponentielle.
1.7 SÉRIES ALTERNÉES
Définition 1.7.1. On appelle série alternée toute série à termes réels de la forme
(−1) n a n ou
(−1) n+1 a n , avec a n ∈ R + pour tout n ∈ N.
Théorème 1.7.2. (Critère des séries alternées). Soit (a n ) n une suite réelle décroissante de limite nulle. Si u n = (−1) n a n , la série
u n est convergente. En outre, pour
tout n ∈ N, on a :
U 2n+1 U U 2n , |U − U n | a n+1 .
Démonstration. Si n ∈ N, on a :
U 2n − U 2n+1 = a 2n+1 0,
U 2n+2 − U 2n = a 2n+2 − a 2n+1 0 , U 2n+3 − U 2n+1 = a 2n+2 − a 2n+3 0.
Par conséquent,
(U 2n+1 ) n , (U 2n ) n
est un couple de suites adjacentes. On en déduit
que la suite (U n ) n converge, donc que la série
u n est convergente. On obtient alors :
U 2n+1 U U 2n ⇒ |U − U 2n+1 | U 2n+2 − U 2n+1 = a 2n+2 ,
U 2n+1 U U 2n ⇒ |U − U 2n | U 2n − U 2n+1 = a 2n+1 .
D’où le résultat.
Exemple. En utilisant 1.7.2, on voit que la série de terme général
(−1) n
n α converge
si et seulement si α > 0.