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1 • Séries numériques
1.6 RÈGLES DE CAUCHY ET DE D’ALEMBERT
Théorème 1.6.1. (Règle de Cauchy). Soient
u n une série et = lim sup
n
|u n |.
(i) Si < 1, la série
u n est absolument convergente.
(ii) Si > 1, la série
u n est divergente.
Démonstration. (i) Supposons < 1, et fixons λ tel que < λ < 1. Il existe N ∈ N
tel que |u n | 1/n λ si n N . Pour un tel entier n, on a |u n | λ n . On conclut alors
d’après 1.3.9 et 1.4.3.
(ii) Supposons > 1, et fixons λ vérifiant > λ > 1. Pour tout N ∈ N, il existe
n N tel que |u n | 1/n λ, soit |u n | λ n . La suite (u n ) n ne converge pas vers 0,
donc
u n diverge (1.3.6).
Remarque. Le cas des séries de Riemann montre que l’on ne peut conclure si
= 1.
Corollaire 1.6.2. On suppose que la suite
n
|u n |
n
a une limite ∈ R.
(i) Si < 1, la série
u n est absolument convergente.
(ii) Si > 1, la série
u n est divergente.
Théorème 1.6.3. (Règle de d’Alembert). Soit
u n une série. On suppose u n = 0
pour n assez grand, et on pose :
L = lim sup
|u n+1 |
|u n |
, , = lim inf
|u n+1 |
|u n |
·
(i) Si L < 1, la série
u n est absolument convergente.
(ii) Si > 1, la série
u n est divergente.
Démonstration. (i) Supposons L < 1, et fixons λ tel que L < λ < 1. Posons
v n = λ n . Si n est assez grand, on a :
|u n+1 |
|u n |
λ =
v n+1
v n
·
D’où l’assertion (1.3.9 et 1.4.6).
(ii) Si > 1, il existe N ∈ N tel que :
n N ⇒ u n = 0 et
|u n+1 |
|u n |
1.
Si n N , il vient |u n | |u N | > 0. On conclut d’après 1.3.6.
Corollaire 1.6.4. On suppose que u n est non nul pour n assez grand et que la suite
|u n+1 |/|u n |
n
a une limite ∈ R.
(i) Si < 1, la série
u n est absolument convergente.
(ii) Si > 1, la série
u n est divergente.