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1.5 Convergence absolue
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Théorème 1.5.4. Soient
u n une série et
v n une série à termes réels positifs ou
nuls. On suppose qu’il existe un nombre complexe non nul λ tel que u n ∼ λv n .
(i) Si
v n converge, alors
u n converge absolument.
(ii) Si
v n diverge,
u n diverge aussi.
(iii) Les deux séries sont simultanément convergentes ou divergentes.
Démonstration. Il suffit de prouver (i) et (ii). D’après l’hypothèse, on a u n = O(v n ).
D’où (i) (1.5.3).
Supposons
v n divergente. On a u n − λv n = o(λv n ). Il existe donc N ∈ N tel que :
n N ⇒ |u n − v n |
|λ|
2
v n .
Si N p q, on obtient alors :
|λ|
q
n=p
v n −
q
n=p
u n
q
n=p
(u n − λv n )
|λ|
2
q
n=p
v n .
On en déduit :
q
n=p
v n
2
|λ|
q
n=p
u n
.
Si
u n converge, elle vérifie le critère de Cauchy. L’inégalité précédente montre que
v n vérifie aussi ce critère, donc converge. Contradiction.
Corollaire 1.5.5. Soit
u n une série. On suppose qu’il existe α ∈ R et λ ∈ C ∗ tels
que u n ∼ λn −α . Alors :
(i) Si α > 1, la série
u n est absolument convergente.
(ii) Si α 1, la série
u n diverge.
Démonstration. C’est clair d’après 1.3.10 et 1.5.4.
Proposition 1.5.6. Soit
u n une série.
(i) S’il existe α > 1 tel que la suite (n α u n ) n soit bornée, la série
u n est absolument convergente.
(ii) Supposons les u n réels de même signe et l’existence de α 1 tel que n α |u n |
tende vers +∞ quand n tend vers +∞. Alors, la série
u n diverge.
Démonstration.
(i) On a u n = O(n −α ). On conclut d’après 1.3.10 et 1.5.3.
(ii) D’après les hypothèses, il vient n −α = O(|u n |). On termine alors comme en (i).