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1 • Séries numériques
Proposition 1.4.6. Soient
u n et
v n des séries à termes réels positifs ou nuls. On
suppose qu’il existe N ∈ N tel que, pour n N :
u n > 0 , v n > 0 ,
u n+1
u n
v n+1
v n
·
(i) Si la série
v n converge, la série
u n converge aussi.
(ii) Si la série
u n diverge, la série
v n diverge aussi.
Démonstration. Posons A = u N /v N . Si n N , il vient :
u n
v n
u n−1
v n−1
· · ·
u N +1
v N +1
u N
v N
A.
D’où les assertions d’après 1.4.4.
1.5 CONVERGENCE ABSOLUE
Proposition 1.5.1. Soit
u n une série à termes complexes. Les conditions suivantes
sont équivalentes :
(i) La série
u n est absolument convergente.
(ii) Les séries
Re(u n ) et
Im(u n ) sont absolument convergentes.
Démonstration. On a :
| Re(u n )| |u n | , | Im(u n )| |u n | , |u n | | Re(u n )| + | Im(u n )|.
Les deux premières inégalités établissent (i) ⇒ (ii) ; la troisième (ii) ⇒ (i).
1.5.2. D’après 1.5.1, l’étude de la convergence absolue dans le cas complexe se
ramène à celle du cas réel. On va s’intéresser à cette situation. Si a ∈ R, on pose :
a
+ = max{a, 0} , a
− = max{−a, 0}.
Proposition. Soit
u n une série à termes réels. Les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) La série
u n est absolument convergente.
(ii) Les séries
u +
n et
u −
n sont convergentes.
Démonstration. Si n ∈ N, alors :
0 u
+
n |u n | , 0 u
−
n |u n | , |u n | = u
+
n + u
−
n .
D’où le résultat.
Proposition 1.5.3. Soient
u n une série et
v n une série à termes réels positifs ou
nuls vérifiant u n = O(v n ). Si la série
v n converge, alors la série
u n converge
absolument.
Démonstration. Résulte de 1.4.4, car u n = O(v n ) équivaut à |u n | = O(v n ).