© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
1.4 Séries à termes positifs
7
• On dit que u et v sont équivalentes, et on écrit alors u n ∼ v n , si u n − v n = o(u n ).
Si cette condition est réalisée, on a aussi v n − u n = o(v n ). S’il existe N ∈ N tel que
v n = 0 pour n N , ceci équivaut à dire que la suite (u n /v n ) n converge vers 1.
1.4.2. Soit
u n une série à termes réels positifs ou nuls. La suite (U n ) n est donc
croissante. Il en résulte que le résultat suivant et celui de 1.4.3 sont immédiats.
Théorème. Soit
u n une série à termes réels positifs ou nuls. Les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) La série
u n est convergente.
(ii) La suite (U n ) n est majorée.
Si ces conditions sont vérifiées, on a U = sup{U n ; n ∈ N}. Si elles ne le sont pas,
alors U n tend vers +∞ quand n tend vers +∞.
Théorème 1.4.3. Soient
u n et
v n des séries à termes réels positifs ou nuls. On
suppose qu’il existe N ∈ N tel que u n v n si n N . Alors :
(i) Si la série
v n converge, il en est de même de la série
u n et :
∞
n=N
u n
∞
n=N
v n .
(ii) Si la série
u n est divergente, il en est de même de la série
v n .
Corollaire 1.4.4. Soient
u n et
v n des séries à termes réels positifs ou nuls telles
que u n = O(v n ). Alors :
(i) Si la série
v n converge, il en est de même de la série
u n .
(ii) Si la série
u n diverge, la série
v n diverge aussi.
Démonstration. D’après les hypothèses, il existe N ∈ N et A > 0 tels que u n Av n
si n N . Il suffit donc d’appliquer 1.4.3.
Corollaire 1.4.5. Soient
u n et
v n des séries à termes réels positifs ou nuls
vérifiant l’une ou l’autre des hypothèses suivantes :
(i) Il existe A, B ∈ R ∗
+ tels que Av n u n Bv n pour n assez grand.
(ii) u n ∼ v n .
Alors les séries
u n et
v n sont de même nature.
Démonstration. Les deux conditions impliquent en effet que u n = O(v n ) et que
v n = O(u n ).
1.4 Séries à termes positifs
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• On dit que u et v sont équivalentes, et on écrit alors u n ∼ v n , si u n − v n = o(u n ).
Si cette condition est réalisée, on a aussi v n − u n = o(v n ). S’il existe N ∈ N tel que
v n = 0 pour n N , ceci équivaut à dire que la suite (u n /v n ) n converge vers 1.
1.4.2. Soit
u n une série à termes réels positifs ou nuls. La suite (U n ) n est donc
croissante. Il en résulte que le résultat suivant et celui de 1.4.3 sont immédiats.
Théorème. Soit
u n une série à termes réels positifs ou nuls. Les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) La série
u n est convergente.
(ii) La suite (U n ) n est majorée.
Si ces conditions sont vérifiées, on a U = sup{U n ; n ∈ N}. Si elles ne le sont pas,
alors U n tend vers +∞ quand n tend vers +∞.
Théorème 1.4.3. Soient
u n et
v n des séries à termes réels positifs ou nuls. On
suppose qu’il existe N ∈ N tel que u n v n si n N . Alors :
(i) Si la série
v n converge, il en est de même de la série
u n et :
∞
n=N
u n
∞
n=N
v n .
(ii) Si la série
u n est divergente, il en est de même de la série
v n .
Corollaire 1.4.4. Soient
u n et
v n des séries à termes réels positifs ou nuls telles
que u n = O(v n ). Alors :
(i) Si la série
v n converge, il en est de même de la série
u n .
(ii) Si la série
u n diverge, la série
v n diverge aussi.
Démonstration. D’après les hypothèses, il existe N ∈ N et A > 0 tels que u n Av n
si n N . Il suffit donc d’appliquer 1.4.3.
Corollaire 1.4.5. Soient
u n et
v n des séries à termes réels positifs ou nuls
vérifiant l’une ou l’autre des hypothèses suivantes :
(i) Il existe A, B ∈ R ∗
+ tels que Av n u n Bv n pour n assez grand.
(ii) u n ∼ v n .
Alors les séries
u n et
v n sont de même nature.
Démonstration. Les deux conditions impliquent en effet que u n = O(v n ) et que
v n = O(u n ).