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1 • Séries numériques
Théorème 1.3.8. Toute série
u n absolument convergente est convergente et :
∞
n=0
u n
∞
n=0
|u n |.
Démonstration. Résulte de |u p + u p+1 + · · · + u q | |u p | + |u p+1 | + · · · + |u q | et
du critère de Cauchy.
1.3.9. Soient λ ∈ C, a ∈ C ∗ , et u n = aλ n . On dit que
u n est la série géométrique
de premier terme a et de raison λ.
• Si |λ| 1, la suite (u n ) n ne converge pas vers 0. D’après 1.3.6, la série
u n
diverge.
• Supposons |λ| < 1. De
U n = a
1 − λ n+1
1 − λ
on déduit que la série
u n converge et que sa somme est :
U =
a
1 − λ
·
1.3.10. On appelle série de Riemann toute série
n1 u n , avec u n =
1
n α , où α ∈ R.
Si α 0 la série
u n diverge d’après 1.3.6. Supposons α > 0. Si n 2, on a :
n+1
n
dx
x α
1
n α
n
n−1
dx
x α ·
Pour n 1, il vient alors :
ln(n + 1) U n = u 1 + · · · + u n 1 + ln n si α = 1,
1
1 − α
1
(n + 1) α−1 − 1
U n 1 +
1
1 − α
1
n α−1 − 1
si α = 1.
La suite (U n ) n étant croissante, on voit donc que la série de Riemann précédente
converge si et seulement si α > 1.
1.4 SÉRIES À TERMES POSITIFS
1.4.1. Rappelons tout d’abord quelques points concernant des notions classiques.
Soient u = (u n ) n et v = (v n ) n des suites à éléments dans K.
• On dit que v domine u, et on écrit alors u n = O(v n ), s’il existe A > 0 tel que
|u n | A|v n | dès que n est assez grand.
• On dit que u est négligeable devant v, et on écrit alors u n = o(v n ), si pour tout
ε > 0, on a |u n | ε|v n | dès que n est assez grand.