© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
1.3 Généralités sur les séries numériques
5
Le résultat suivant est immédiat :
Proposition. L’ensemble S(K) des séries convergentes est un K-sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel des séries à éléments dans K, et l’application
S(K) → K ,
u n →
∞
n=0
u n
est K-linéaire.
1.3.3. Soit p ∈ N ∗ . Nous aurons parfois à considérer des suites (u n ) np d’éléments
de K. En posant v n = 0 si n < p et v n = u n si n p, on obtient une série
v n qui
sera notée
np u n , ou même encore
u n s’il n’y a pas d’ambiguïté.
Inversement, à une série
u n , on peut associer une série
np u n qui est dite déduite
de
u n par troncature.
Une série
u n et une série
np u n s’en déduisant par troncature sont de même
nature. En cas de convergence, la somme de la seconde série est
∞
n=0
u n −
p−1
n=0
u n notée
∞
n=p
u n .
Convention 1.3.4. Dans les preuves qui suivent, si l’on considère une série de terme
général u n (lettre minuscule), la somme de rang n de cette série sera notée U n (lettre
majuscule). En cas de convergence, la somme de la série sera notée U (lettre majuscule). En outre, le mot « série » signifiera « série à éléments dans K ».
1.3.5. Soit
u n une série. Pour p < q, on a
U q − U p = u p+1 + u p+2 + · · · + u q .
Le corps K étant complet, il résulte de 1.1.4 que l’on a le résultat suivant :
Théorème. (Critère de Cauchy). Soit
u n une série. Les conditions suivantes sont
équivalentes :
(i) La série
u n est convergente.
(ii) Pour tout ε > 0, il existe N ∈ N tel que :
N p q ⇒ |u p + u p+1 + · · · + u q | ε.
Corollaire 1.3.6. Si la série
u n converge, la suite (u n ) n admet 0 pour limite.
Démonstration. Il suffit de prendre q = p + 1 dans le critère de Cauchy.
Définition 1.3.7. Une série
u n est dite absolument convergente si la série
|u n |
est convergente.
1.3 Généralités sur les séries numériques
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Le résultat suivant est immédiat :
Proposition. L’ensemble S(K) des séries convergentes est un K-sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel des séries à éléments dans K, et l’application
S(K) → K ,
u n →
∞
n=0
u n
est K-linéaire.
1.3.3. Soit p ∈ N ∗ . Nous aurons parfois à considérer des suites (u n ) np d’éléments
de K. En posant v n = 0 si n < p et v n = u n si n p, on obtient une série
v n qui
sera notée
np u n , ou même encore
u n s’il n’y a pas d’ambiguïté.
Inversement, à une série
u n , on peut associer une série
np u n qui est dite déduite
de
u n par troncature.
Une série
u n et une série
np u n s’en déduisant par troncature sont de même
nature. En cas de convergence, la somme de la seconde série est
∞
n=0
u n −
p−1
n=0
u n notée
∞
n=p
u n .
Convention 1.3.4. Dans les preuves qui suivent, si l’on considère une série de terme
général u n (lettre minuscule), la somme de rang n de cette série sera notée U n (lettre
majuscule). En cas de convergence, la somme de la série sera notée U (lettre majuscule). En outre, le mot « série » signifiera « série à éléments dans K ».
1.3.5. Soit
u n une série. Pour p < q, on a
U q − U p = u p+1 + u p+2 + · · · + u q .
Le corps K étant complet, il résulte de 1.1.4 que l’on a le résultat suivant :
Théorème. (Critère de Cauchy). Soit
u n une série. Les conditions suivantes sont
équivalentes :
(i) La série
u n est convergente.
(ii) Pour tout ε > 0, il existe N ∈ N tel que :
N p q ⇒ |u p + u p+1 + · · · + u q | ε.
Corollaire 1.3.6. Si la série
u n converge, la suite (u n ) n admet 0 pour limite.
Démonstration. Il suffit de prendre q = p + 1 dans le critère de Cauchy.
Définition 1.3.7. Une série
u n est dite absolument convergente si la série
|u n |
est convergente.