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1 • Séries numériques
(ii) ⇒ (i) Supposons (ii) vérifié.
• Si lim inf x = lim sup x = ∈ R, pour ε > 0, il existe N ∈ N tel que :
n N ⇒ − ε m n M n + ε.
D’où :
n N ⇒ − ε m n x n M n + ε.
Ceci montre que la suite x converge vers .
• Supposons lim inf x = lim sup x = +∞. Si A ∈ R, il existe N ∈ N tel que :
n N ⇒ A m n M n .
Ainsi :
n N ⇒ A m n x n M n .
D’où lim x = +∞. La preuve est analogue si lim inf x = lim sup x = −∞.
1.3 GÉNÉRALITÉS SUR LES SÉRIES NUMÉRIQUES
Définition 1.3.1. Soit (u n ) n0 une suite d’éléments de K. On appelle série de terme
général u n , ou série
u n , la suite de K × K définie par :
u n ,
n
k=0
u k
n0
.
La série
u n est dite réelle (respectivement complexe) si la suite (u n ) n est à termes
réels (respectivement complexes).
1.3.2. Étant donnée une série
u n , on dit que
U n = u 0 + u 1 + · · · + u n
est la somme partielle de rang n de la série. La série est dite convergente (respectivement divergente) si la suite (U n ) n0 converge dans K (respectivement diverge). Si la
suite (U n ) n0 converge, sa limite U est appelée la somme de la série, et on écrit :
U =
∞
n=0
u n .
Il est clair qu’une série complexe
u n est convergente si et seulement si les séries
réelles
Re(u n ) et
Im(u n ) le sont. S’il en est ainsi, on a :
∞
n=0
u n =
∞
n=0
Re(u n ) + i
∞
n=0
Im(u n ).