© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
1.2 Limite supérieure et limite inférieure
3
Démonstration. Prouvons (i), la démonstration de (ii) étant analogue.
Si p q, on a X q ⊂ X p donc sup X p = +∞. Supposons p > q et sup X p = M ∈ R.
De X q = X p ∪ {x q , x q+1 , . . . , x p−1 }, on déduit :
sup X q max{M, x q , x q+1 , . . . , x p−1 } < +∞.
Contradiction.
1.2.5. Soit x = (x n ) n ∈ S. On va définir des éléments lim sup x et lim inf x de R,
appelés respectivement limite supérieure et limite inférieure de x. Notons, si n ∈ N :
X n = {x p ; p n} , M n = sup X n , m n = inf X n .
• S’il existe q ∈ N tel que M q = +∞, alors M n = +∞ pour tout n ∈ N (1.2.4). On
pose :
lim sup x = +∞.
• Supposons M n < +∞ pour tout n ∈ N. Comme X n+1 ⊂ X n , la suite (M n ) n est
décroissante. Elle a donc une limite dans R, et on pose :
lim sup x = lim
n
M n .
• S’il existe q ∈ N tel que m q = −∞, alors m n = −∞ pour tout n ∈ N (1.2.4). On
pose :
lim inf x = −∞.
• Si m n > −∞ pour tout n ∈ N, la suite (m n ) n étant croissante, elle a une limite
dans R. On pose :
lim inf x = lim
n
m n .
D’après les définitions, il est clair que lim inf x lim sup x.
On notera parfois lim sup
n
x n pour lim sup x et lim inf
n
x n pour lim inf x.
Théorème 1.2.6. Soit x = (x n ) n ∈ S. Les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) La suite x converge dans R.
(ii) On a lim inf x = lim sup x.
Si ces conditions sont vérifiées, alors :
lim x = lim inf x = lim sup x.
Démonstration. (i) ⇒ (ii) Supposons (i) vérifié.
• Envisageons le cas où x converge vers ∈ R. Si ε > 0, il existe N ∈ N tel que
|x n −| < ε dès que n N . Alors, pour n N , il vient |M n −| ε et |m n −| ε.
Ceci prouve que les suites (M n ) n et (m n ) n convergent vers .
• Supposons lim x = +∞. Si A ∈ R, il existe N ∈ N tel que x n A dès que
n N . On obtient M n A et m n A si n N . La condition (ii) est à nouveau
vérifiée. La preuve est analogue si lim x = −∞.
1.2 Limite supérieure et limite inférieure
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Démonstration. Prouvons (i), la démonstration de (ii) étant analogue.
Si p q, on a X q ⊂ X p donc sup X p = +∞. Supposons p > q et sup X p = M ∈ R.
De X q = X p ∪ {x q , x q+1 , . . . , x p−1 }, on déduit :
sup X q max{M, x q , x q+1 , . . . , x p−1 } < +∞.
Contradiction.
1.2.5. Soit x = (x n ) n ∈ S. On va définir des éléments lim sup x et lim inf x de R,
appelés respectivement limite supérieure et limite inférieure de x. Notons, si n ∈ N :
X n = {x p ; p n} , M n = sup X n , m n = inf X n .
• S’il existe q ∈ N tel que M q = +∞, alors M n = +∞ pour tout n ∈ N (1.2.4). On
pose :
lim sup x = +∞.
• Supposons M n < +∞ pour tout n ∈ N. Comme X n+1 ⊂ X n , la suite (M n ) n est
décroissante. Elle a donc une limite dans R, et on pose :
lim sup x = lim
n
M n .
• S’il existe q ∈ N tel que m q = −∞, alors m n = −∞ pour tout n ∈ N (1.2.4). On
pose :
lim inf x = −∞.
• Si m n > −∞ pour tout n ∈ N, la suite (m n ) n étant croissante, elle a une limite
dans R. On pose :
lim inf x = lim
n
m n .
D’après les définitions, il est clair que lim inf x lim sup x.
On notera parfois lim sup
n
x n pour lim sup x et lim inf
n
x n pour lim inf x.
Théorème 1.2.6. Soit x = (x n ) n ∈ S. Les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) La suite x converge dans R.
(ii) On a lim inf x = lim sup x.
Si ces conditions sont vérifiées, alors :
lim x = lim inf x = lim sup x.
Démonstration. (i) ⇒ (ii) Supposons (i) vérifié.
• Envisageons le cas où x converge vers ∈ R. Si ε > 0, il existe N ∈ N tel que
|x n −| < ε dès que n N . Alors, pour n N , il vient |M n −| ε et |m n −| ε.
Ceci prouve que les suites (M n ) n et (m n ) n convergent vers .
• Supposons lim x = +∞. Si A ∈ R, il existe N ∈ N tel que x n A dès que
n N . On obtient M n A et m n A si n N . La condition (ii) est à nouveau
vérifiée. La preuve est analogue si lim x = −∞.