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1 • Séries numériques
1.1.3. Soit X un espace métrique dont la distance est notée d. Rappelons qu’une
suite x = (x n ) n0 d’éléments de X est appelée une suite de Cauchy si elle vérifie la
condition suivante : pour tout ε > 0, il existe N ∈ N tel que d(x m , x n ) < ε dès que
m N et n N .
Définition. Un espace métrique X est dit complet si toute suite de Cauchy d’éléments
de X a une limite dans X. Un K-espace vectoriel normé et complet est appelé un
espace de Banach.
Théorème 1.1.4. Tout K-espace vectoriel normé de dimension finie est un espace de
Banach. En particulier, le corps K est complet.
1.2 LIMITE SUPÉRIEURE ET LIMITE INFÉRIEURE
1.2.1. On adjoint à R les symboles usuels −∞ et +∞, et on pose :
R = R ∪ {−∞, +∞}.
On prolonge la relation d’ordre naturelle de R en convenant que, pour tout a ∈ R :
−∞ < a < +∞.
1.2.2. On note S l’ensemble des suites réelles et C le sous-espace vectoriel de S
constitué des suites convergentes.
Définition. Soit x = (x n ) n0 ∈ S. On dit que x converge dans R si elle vérifie l’une
ou l’autre des conditions suivantes :
(i) x ∈ C
(ii) x n tend vers +∞ quand n tend vers +∞.
(iii) x n tend vers −∞ quand n tend vers +∞.
On désigne par R l’ensemble des éléments de S qui convergent dans R.
Remarques. 1) Si x n = (−1) n , on a x /
∈ R.
2) Si x n = n, alors x ∈ R\C. Par suite C R S.
3) L’ensemble R n’est pas un sous-espace vectoriel de S. Si x = (x n ) n et
y = (y n ) n vérifient x n = n + (−1) n et y n = −n, on a x, y ∈ R et x + y /
∈ R.
1.2.3. Soit A une partie non vide de R. Si A est majorée (respectivement minorée),
on note sup A (respectivement inf A) la borne supérieure (respectivement inférieure)
de A. Si A est non majorée (respectivement non minorée), on pose sup A = +∞
(respectivement inf A = −∞).
Lemme 1.2.4. Soit x = (x n ) ∈ S. Si p ∈ N, on pose X p = {x n ; n p}.
(i) S’il existe q ∈ N tel que sup X q = +∞, alors sup X p = +∞ pour tout p ∈ N.
(ii) S’il existe q ∈ N tel que inf X q = −∞, alors inf X p = −∞ pour tout p ∈ N.
1 • Séries numériques
1.1.3. Soit X un espace métrique dont la distance est notée d. Rappelons qu’une
suite x = (x n ) n0 d’éléments de X est appelée une suite de Cauchy si elle vérifie la
condition suivante : pour tout ε > 0, il existe N ∈ N tel que d(x m , x n ) < ε dès que
m N et n N .
Définition. Un espace métrique X est dit complet si toute suite de Cauchy d’éléments
de X a une limite dans X. Un K-espace vectoriel normé et complet est appelé un
espace de Banach.
Théorème 1.1.4. Tout K-espace vectoriel normé de dimension finie est un espace de
Banach. En particulier, le corps K est complet.
1.2 LIMITE SUPÉRIEURE ET LIMITE INFÉRIEURE
1.2.1. On adjoint à R les symboles usuels −∞ et +∞, et on pose :
R = R ∪ {−∞, +∞}.
On prolonge la relation d’ordre naturelle de R en convenant que, pour tout a ∈ R :
−∞ < a < +∞.
1.2.2. On note S l’ensemble des suites réelles et C le sous-espace vectoriel de S
constitué des suites convergentes.
Définition. Soit x = (x n ) n0 ∈ S. On dit que x converge dans R si elle vérifie l’une
ou l’autre des conditions suivantes :
(i) x ∈ C
(ii) x n tend vers +∞ quand n tend vers +∞.
(iii) x n tend vers −∞ quand n tend vers +∞.
On désigne par R l’ensemble des éléments de S qui convergent dans R.
Remarques. 1) Si x n = (−1) n , on a x /
∈ R.
2) Si x n = n, alors x ∈ R\C. Par suite C R S.
3) L’ensemble R n’est pas un sous-espace vectoriel de S. Si x = (x n ) n et
y = (y n ) n vérifient x n = n + (−1) n et y n = −n, on a x, y ∈ R et x + y /
∈ R.
1.2.3. Soit A une partie non vide de R. Si A est majorée (respectivement minorée),
on note sup A (respectivement inf A) la borne supérieure (respectivement inférieure)
de A. Si A est non majorée (respectivement non minorée), on pose sup A = +∞
(respectivement inf A = −∞).
Lemme 1.2.4. Soit x = (x n ) ∈ S. Si p ∈ N, on pose X p = {x n ; n p}.
(i) S’il existe q ∈ N tel que sup X q = +∞, alors sup X p = +∞ pour tout p ∈ N.
(ii) S’il existe q ∈ N tel que inf X q = −∞, alors inf X p = −∞ pour tout p ∈ N.