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15 • Quelques calculs d’intégrales
Remarque. Soit n un entier au moins égal à 2. la méthode précédente avec
r = 0 fournit :
∞
0
dt
1 + t n =
π
n sin
π
n
·
Nous invitons le lecteur à calculer cette intégrale en utilisant une décomposition en éléments simples (et en raisonnant rigoureusement). Il pourra constater
que la méthode des résidus est nettement plus simple.
15.2.7. Rappelons que Γ(z) a été défini en 7.5.2. Soit p un entier au moins égal à 2.
En utilisant le chemin de 15.2.6, et la fonction z → e iz
p , le lecteur montrera que :
+∞
0
cos(t
p ) dt =
1
p
Γ
1
p
cos
π
2p
,
+∞
0
sin(t
p ) dt =
1
p
Γ
1
p
sin
π
2p
·
15.2.8. On va maintenant proposer au lecteur certains calculs d’intégrales en lui
indiquant quels chemins il peut utiliser pour le faire. A lui de déterminer des fonctions
convenables à utiliser et le soin de mener à bien les calculs.
• Calculer I =
+∞
0
t α ln t
t − 1
dt où −1 < α < 0.
0
1
• Calculer I =
∞
0
e
−t
2 cos(αt) dt, où α > 0.
15 • Quelques calculs d’intégrales
Remarque. Soit n un entier au moins égal à 2. la méthode précédente avec
r = 0 fournit :
∞
0
dt
1 + t n =
π
n sin
π
n
·
Nous invitons le lecteur à calculer cette intégrale en utilisant une décomposition en éléments simples (et en raisonnant rigoureusement). Il pourra constater
que la méthode des résidus est nettement plus simple.
15.2.7. Rappelons que Γ(z) a été défini en 7.5.2. Soit p un entier au moins égal à 2.
En utilisant le chemin de 15.2.6, et la fonction z → e iz
p , le lecteur montrera que :
+∞
0
cos(t
p ) dt =
1
p
Γ
1
p
cos
π
2p
,
+∞
0
sin(t
p ) dt =
1
p
Γ
1
p
sin
π
2p
·
15.2.8. On va maintenant proposer au lecteur certains calculs d’intégrales en lui
indiquant quels chemins il peut utiliser pour le faire. A lui de déterminer des fonctions
convenables à utiliser et le soin de mener à bien les calculs.
• Calculer I =
+∞
0
t α ln t
t − 1
dt où −1 < α < 0.
0
1
• Calculer I =
∞
0
e
−t
2 cos(αt) dt, où α > 0.