© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
15.2 Quelques méthodes
193
15.2.6. Soient n un entier et α un réel tels que n > α + 1 > 0. On veut calculer
l’intégrale
I =
+∞
0
t α
1 + t n dt.
On va utiliser le chemin Γ r,R suivant
0
r
R
où l’angle entre les deux segments de droite est
2π
n
·
Pour ρ > 0, on pose γ ρ (t) = ρe it , avec 0 t
2π
n
. On note ϕ la détermination
holomorphe de z α définie sur C\iR − , et qui correspond à un argument strictement
compris entre −
π
2
et
3π
2
· On pose :
f (z) =
ϕ(z)
1 + z n , I ρ =
γρ
f (z) dz = iρ
α+1
2π/n
0
e i(α+1)t
ρ n e int + 1
dt.
Il vient :
|I ρ |
2πρ α+1
n|ρ n − 1|
·
Ainsi, I ρ tend vers 0 quand ρ tend vers 0 ou quand R tend vers +∞. D’autre part,
d’après le théorème des résidus :
Γr,R
f (z) dz = 2iπ Res(f, e
iπ/n ) = −
2iπ
n
exp
i(α + 1)π
n
I R − I r +
R
r
t α
1 + t n dt + exp
2iπ(α + 1)
n
r
R
t α
1 + t n dt.
On en déduit que :
I =
π
n sin
(α + 1)π
n
·