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15 • Quelques calculs d’intégrales
15.2.5. Proposons nous de calculer l’intégrale
I =
+∞
0
t α ln t
t 2 − 1
dt,
avec −1 < α < 1. On va utiliser le chemin Γ r,R suivant :
−1
0
R
r
1
Notons ϕ et ψ les déterminations du logarithme et de z α définies sur C\iR − , et
correspondant à un argument strictement compris entre −
π
2
et
3π
2
·
L’intégrale de f (z) =
ψ(z)ϕ(z)
z 2 − 1
sur Γ r,R est nulle pour r assez petit et R assez grand.
Pour a ∈ C et ρ > 0, posons χ a,ρ (t) = a + ρe it , 0 t π. Compte tenu de 15.1.1
et 15.1.2, les intégrales de f sur χ 0,r , χ 0,R , et χ 1,r tendent vers 0 quand r tend vers 0
ou quand R tend vers +∞. De même, d’après 15.1.1, on a :
lim
r→0
χ−1,r
f (z) dz = πi Res(f, −1) =
π 2
2
e
iαπ .
Posons alors :
J r =
1−r
r
t α ln t
t 2 − 1
dt , K r,R =
R
1+r
t α ln t
t 2 − 1
dt,
L r =
1−r
r
t α
t 2 − 1
dt , M r,R =
1+r
t α
t 2 − 1
dt , N a,ρ =
χa,ρ
f (z) dz.
On a :
(1 + e
iαπ )(J r + K r,R ) + iπe
iαπ (L r + M r,R ) + N 0,R − N 0,r − N −1,r − N 1,r = 0.
En faisant tendre r vers 0 et R vers +∞, on voit alors facilement que :
I =
π 2
4 cos 2 απ
2
·