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15.2 Quelques méthodes
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15.2.4. Soit F une fraction rationnelle non nulle, à coefficients réels, sans pôle dans
R + , et vérifiant deg F −2. On pose :
I =
+∞
0
F (t) ln t dt.
On conserve les notations Γ r,R , γ 1,r,R , γ 2,r,R , ϕ 0 , ϕ 1 , et ϕ 2 de 15.2.3. On note ψ k la
détermination du logarithme correspondant à ϕ k , et on pose f (z) = F (z)[ψ 0 (z)] 2 .
Pour r assez petit et R assez grand, on a :
J r,R =
Γr,R
f (z) dz = 2iπ
Res(f, a 1 ) + · · · + Res(f, a n )
,
où a 1 , . . . , a n sont les pôles de F . D’autre part :
γ1,r,R
F (z)[ψ 1 (z)]
2 dz =
γ2,r,R
F (z)[ψ 2 (z)]
2 dz = 0.
On en déduit que
J =
R
r
F (t)[ln t]
2 dt +
r
R
F (t)[ln t + 2iπ]
2 dt + S,
où S est combinaison linéaire de six intégrales de la forme
J k,γ =
γ
F (z)[ψ k (z)]
2 dz
avec im γ ⊂ im χ r ou im γ ⊂ im χ R . Comme en 15.2.3, on prouve que ces intégrales
tendent vers 0 quand r tend vers 0 ou quand R tend vers +∞. On en déduit :
−4iπI + 4π
2
+∞
0
F (t) dt = 2iπ
Res(f, a 1 ) + · · · + Res(f, a n )
.
D’où :
2I = − Re
Res(f, a 1 ) + · · · + Res(f, a n )
.
Remarque. Une méthode analogue permet de calculer, lorsqu’elle est définie
une intégrale du type
+∞
0
F (t)[ln t]
p dt.
On considère, pour cela :
Γr,R
F (z)[ψ 0 (z)]
p+1 dz.