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15 • Quelques calculs d’intégrales
On note ϕ 0 la détermination holomorphe de z α définie sur C\R + , et qui correspond
à un argument θ vérifiant 0 < θ(z) < 2π (voir 5.3.2). On pose f = F/ϕ 0 . Dans la
suite, on suppose r assez petit et R assez grand pour que r < |a k | < R si 1 i n.
Si ρ > 0, on pose χ ρ (t) = ρe 2iπt , 0 t 1.
De même, ϕ 1 (respectivement ϕ 2 ) est la détermination holomorphe de z α définie
dans C\R − et correspondant à un argument strictement compris entre −π et +π
(respectivement π et 3π). On a ainsi :
• ϕ 0 (z) = ϕ 1 (z) si Re(z) > 0 et Im(z) > 0.
• ϕ 0 (z) = ϕ 2 (z) si Re(z) > 0 et Im(z) < 0.
Notons γ 1,r,R et γ 2,r,R les chemins suivants :
0
0
r
R
r
R
On a :
J =
Γr,R
F (z)
ϕ 0 (z)
dz = 2iπ
Res(f, a 1 ) + · · · + Res(f, a n )
.
D’autre part :
γ1,r,R
F (z)
ϕ 1 (z)
dz =
γ2,r,R
F (z)
ϕ 2 (z)
dz = 0.
On voit donc que
J =
R
r
t
−α F (t) dt + e
−2iπα
r
R
t
−α F (t) dt + S,
où S est une combinaison linéaire de six intégrales de la forme
J k,γ =
γ
F (z)
ϕ k (z)
dz,
avec k = 0, 1, 2 et im γ ⊂ im χ r ou im γ ⊂ im χ R . Les intégrales telles que
im γ ⊂ im χ R tendent vers 0 quand R tend vers l’infini d’après les hypothèses et
15.1.2. Pour les intégrales telles que im γ ⊂ im χ r , on trouve facilement :
|J k,γ | 2πr
1−α sup{|F (z)| ; |z| = r}.
Comme 0 n’est pas un pôle de F et que 0 < α < 1, ces intégrales tendent vers 0 si r
tend vers 0.
Compte tenu de tout ce qui précède, on a donc obtenu :
I =
2πi
1 − e −2iπα
Res(f, a 1 ) + · · · + Res(f, a n )
.