© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
15.2 Quelques méthodes
189
15.2.2. Soient m, n ∈ N tels que 2n − m 2. Prenons
F (t) =
t m
1 + t 2n ·
Les pôles de F de partie imaginaire strictement positive sont les a k , 0 k n − 1,
avec :
a k = exp
iπ(2k + 1)
2n
.
Ce sont des pôles simples de F . D’après 8.4.2, il vient :
Res(F, a k ) = −
1
2n
a
m+1
k
.
Un calcul facile donne alors :
I =
π[1 − (−1) m+1 ]
2n sin
(m + 1)π
n
·
Remarque. Dans les exemples à venir, les calculs d’indices et de résidus
seront laissés au lecteur. De même, il montrera que les intégrales introduites
sont convergentes.
15.2.3. On note Γ r,R le chemin dont l’image est illustrée par le dessin suivant.
0
R
r
On se propose de calculer l’intégrale
I =
+∞
0
t
−α F (t) dt
où 0 < α < 1, et où F est une fraction rationnelle à coefficients réels vérifiant
F (0) = 0, deg F −1, et dont les pôles a 1 , . . . , a n n’appartiennent pas à R + .
15.2 Quelques méthodes
189
15.2.2. Soient m, n ∈ N tels que 2n − m 2. Prenons
F (t) =
t m
1 + t 2n ·
Les pôles de F de partie imaginaire strictement positive sont les a k , 0 k n − 1,
avec :
a k = exp
iπ(2k + 1)
2n
.
Ce sont des pôles simples de F . D’après 8.4.2, il vient :
Res(F, a k ) = −
1
2n
a
m+1
k
.
Un calcul facile donne alors :
I =
π[1 − (−1) m+1 ]
2n sin
(m + 1)π
n
·
Remarque. Dans les exemples à venir, les calculs d’indices et de résidus
seront laissés au lecteur. De même, il montrera que les intégrales introduites
sont convergentes.
15.2.3. On note Γ r,R le chemin dont l’image est illustrée par le dessin suivant.
0
R
r
On se propose de calculer l’intégrale
I =
+∞
0
t
−α F (t) dt
où 0 < α < 1, et où F est une fraction rationnelle à coefficients réels vérifiant
F (0) = 0, deg F −1, et dont les pôles a 1 , . . . , a n n’appartiennent pas à R + .