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15 • Quelques calculs d’intégrales
15.2 QUELQUES MÉTHODES
15.2.1. Soit F =
P
Q
une fraction rationnelle à coefficients réels, où P, Q ∈ R[X]
sont premiers entre eux. On suppose que le polynôme Q n’a aucune racine réelle et
que deg P deg Q − 2. On sait alors que l’intégrale
I =
+∞
−∞
F (t) dt
est convergente.
Notons a 1 , . . . , a r les racines de Q de partie imaginaire strictement positive. On considère le chemin suivant γ R (on a figuré seulement l’image du chemin sur le dessin ; le
lecteur en déterminera facilement une représentation paramétrique).
0
R
Pour R assez grand, tous les a k appartiennent à la composante bornée de C\ im γ R .
D’autre part, si a appartient à la composante connexe non bornée de C\ im γ R , on a
ind γR (a) = 0 (6.3.2).
Soit a ∈ C vérifiant Im a > 0 et |a| < R. Il existe ρ > 0 tel que |z| < R et
Im(z) > 0 pour tout z ∈ D (a, ρ). Notons θ : [0, 1] → C le chemin t → a + e 2iπt .
On a ind θ (a) = 1 (6.3.3). D’autre part, l’application
δ : [0, 1] × [0, 1] → C , (t, u) → au + u
γ R (t) − a
|γ R (t) − a|
+ (1 − u)γ R (t)
est une homotopie dans C\{a} de γ R à θ. On a ainsi ind γR (a) = 1 (10.4.1).
Compte tenu de 10.6.2, on a alors :
γR
F (z) dz = 2iπ
Res(F, a 1 ) + · · · + Res(F, a n )
.
Notons θ R le sous-chemin de γ R dont l’image est l’arc de cercle figuré sur le dessin.
Comme deg P deg Q − 2, il résulte de 15.1.2 que l’intégrale de F sur θ R tend vers
0 si R tend vers +∞. Comme
γR
F (z) dz =
+R
−R
F (t) dt +
θR
F (z) dz,
il vient :
I = 2iπ
Res(F, a 1 ) + · · · + Res(F, a n )
.
15 • Quelques calculs d’intégrales
15.2 QUELQUES MÉTHODES
15.2.1. Soit F =
P
Q
une fraction rationnelle à coefficients réels, où P, Q ∈ R[X]
sont premiers entre eux. On suppose que le polynôme Q n’a aucune racine réelle et
que deg P deg Q − 2. On sait alors que l’intégrale
I =
+∞
−∞
F (t) dt
est convergente.
Notons a 1 , . . . , a r les racines de Q de partie imaginaire strictement positive. On considère le chemin suivant γ R (on a figuré seulement l’image du chemin sur le dessin ; le
lecteur en déterminera facilement une représentation paramétrique).
0
R
Pour R assez grand, tous les a k appartiennent à la composante bornée de C\ im γ R .
D’autre part, si a appartient à la composante connexe non bornée de C\ im γ R , on a
ind γR (a) = 0 (6.3.2).
Soit a ∈ C vérifiant Im a > 0 et |a| < R. Il existe ρ > 0 tel que |z| < R et
Im(z) > 0 pour tout z ∈ D (a, ρ). Notons θ : [0, 1] → C le chemin t → a + e 2iπt .
On a ind θ (a) = 1 (6.3.3). D’autre part, l’application
δ : [0, 1] × [0, 1] → C , (t, u) → au + u
γ R (t) − a
|γ R (t) − a|
+ (1 − u)γ R (t)
est une homotopie dans C\{a} de γ R à θ. On a ainsi ind γR (a) = 1 (10.4.1).
Compte tenu de 10.6.2, on a alors :
γR
F (z) dz = 2iπ
Res(F, a 1 ) + · · · + Res(F, a n )
.
Notons θ R le sous-chemin de γ R dont l’image est l’arc de cercle figuré sur le dessin.
Comme deg P deg Q − 2, il résulte de 15.1.2 que l’intégrale de F sur θ R tend vers
0 si R tend vers +∞. Comme
γR
F (z) dz =
+R
−R
F (t) dt +
θR
F (z) dz,
il vient :
I = 2iπ
Res(F, a 1 ) + · · · + Res(F, a n )
.