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15.1 Quelques lemmes
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D’autre part :
γr
dz
z − a
=
β
α
i dt = (β − α)i.
D’où le résultat.
Lemme 15.1.2. (Lemme du grand cercle). Soient α, β des éléments de [0, 2π] et
γ R : [α, β] → C, t → Re it un chemin dont l’image est un arc de cercle. Soit f une
fonction holomorphe dans un ouvert U de C contenant im γ R pour R assez grand. On
pose
M (R) = sup{|f (z)| ; z ∈ im γ R },
et on suppose que RM (R) tend vers 0 si R tend vers +∞. Alors :
lim
R→+∞
γR
f (z) dz = 0.
Démonstration. Soit ε > 0. Si R est assez grand, on a RM (R) < ε. Dans ce cas :
γR
f (z) dz
ε
R
long(γ R ) = ε|β − α|.
D’où l’assertion.
Lemme 15.1.3. Avec les notations de 15.1.2, on suppose que α, β ∈
0,
π
2
et que
M (R) tend vers 0 si R tend vers +∞. Soit
I R =
γR
f (z)e
iz dz.
Alors I R tend vers 0 si R tend vers +∞.
Démonstration. Soit
g :
0,
π
2
→ R + , t →
sin t
t
·
Il vient :
g
(t) =
t cos t − sin t
t 2
=
cos t
t 2 (t − tan t) 0.
Ainsi, g est décroissante. Par suite, si 0 t
π
2
, on obtient :
2t
π
sin t.
On en déduit :
|I R | =
iR
β
α
f (Re
it )e
iR cos t−R sin t e
it dt
RM (R)
β
α
e
−R sin t dt
RM (R)
+∞
0
exp
−2Rt
π
dt =
πM (R)
2
·
On a obtenu l’assertion.