Chapitre 15
Quelques calculs d’intégrales
On donne des méthodes pour calculer quelques intégrales en utilisant le
théorème des résidus. Les exemples proposés sont nécessairement en nombre
limité, et on renvoie à des livres d’exercices pour plus de détails. On n’indique
généralement que des méthodes, les calculs et justifications étant souvent laissés
au lecteur. Dans un premier paragraphe, on prouve d’abord quelques lemmes
qui sont utiles pour le calcul d’intégrales.
15.1 QUELQUES LEMMES
Lemme 15.1.1. (Lemme du petit cercle). Soient α, β ∈ [0, 2π] et γ r : [α, β] → C,
t → a + re it un chemin dont l’image est un arc de cercle. Soit f une fonction
holomorphe dans un disque épointé D ∗ (a, R). On suppose que a est un point régulier
ou un pôle simple de f . Alors :
lim
r→0
γr
f (z) dz = (β − α)i Res(f, a).
Démonstration. Posons g(z) = f (z) −
Res(f, a)
z − a
· D’après les hypothèses, il existe
ρ, M ∈ R ∗
+ tels que |g(z)| M si z ∈ D ∗ (a, ρ). Si 0 < r < ρ, on a donc :
γr
g(z) dz
M long(γ r ) = M |β − α|r.