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14 • Fonctions harmoniques
On note ∆f la fonction z → ∆f (z) sur U .
Définition 14.1.3. Une fonction f de classe C 2 dans un ouvert U de C est dite
harmonique dans U si ∆f = 0.
14.1.4. On note Har(U ) l’ensemble des fonctions harmoniques dans U .
• Il est clair que Har(U ) est un sous-C-espace vectoriel de l’algèbre C 2 (U ). Ce n’est
pas une sous-algèbre de C 2 (U ) (par exemple, z = x + iy → x est harmonique dans
U , alors que z → x 2 ne l’est pas).
• D’après (1), si f est holomorphe ou antiholomorphe dans U , alors f ∈ Har(U ).
• Il est immédiat que ∆f = ∆f . Par suite :
f ∈ Har(U ) ⇔ f ∈ Har(U ) ⇔ Re(f ), Im(f ) ∈ Har(U ).
Proposition 14.1.5. Soient U un ouvert simplement connexe de C et f ∈ Har(U ).
(i) f est la somme d’une fonction holomorphe et d’une fonction antiholomorphe dans
U .
(ii) Si f est à valeurs réelles, c’est la partie réelle d’une fonction holomorphe dans
U déterminée à une constante additive imaginaire pure près.
Démonstration. D’après (1), on a :
∂
∂z
∂f
∂z
= 0 ⇔ g =
∂f
∂z
∈ H(U ).
L’ouvert U étant simplement connexe, g a une primitive h dans U (12.2.5). Alors
= f − h est antiholomorphe, et on a f = + h.
Si f est à valeurs réelles, on a f = Re(h + ) = Re(h + ) et h + ∈ H(U ). Le
dernier point est immédiat d’après 5.2.7.
Corollaire 14.1.6. Soient U un ouvert de C et f ∈ Har(U ).
(i) Si f est à valeurs réelles, c’est localement la partie réelle d’une fonction holomorphe.
(ii) f est de classe C ∞ dans U et toutes les dérivées de f sont harmoniques dans U .
(iii) Soient V un ouvert de C et g ∈ H(V ) vérifiant g(V ) ⊂ U . Alors f ◦g ∈ Har(V ).
Démonstration. L’assertion (i) et le premier point de (ii) sont clairs d’après 14.1.5.
Le second point de (ii) résulte alors du théorème de Schwarz quant à l’interversion
des dérivations. Pour établir (iii), on peut supposer f à valeurs réelles (14.1.4). Alors,
d’après (i), localement, f ◦g est de la forme h◦g, où h ∈ H(U ). D’où f ∈ Har(V )
d’après (1).