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Chapitre 14
Fonctions harmoniques
Dans tout ce chapitre, on reprend les conventions du paragraphe 5.1. En
particulier, on identifie un ouvert U de C à un ouvert de R 2 . Une fonction de la
variable z ∈ U est aussi considérée comme une fonction des variables réelles x
et y, où z = x + iy.
14.1 PREMIÈRES PROPRIÉTÉS
14.1.1. Soient U un ouvert de C. Si f est une fonction sur U , on note f la fonction
z → f (z). On dit que f est antiholomorphe sur U si f ∈ H(U ). Compte tenu du
paragraphe 5.3, dire que f est antiholomorphe sur U signifie que :
∂f
∂x
− i
∂f
∂y
= 0 ⇔
∂f
∂z
= 0.
14.1.2. On note C 2 (U ) l’ensemble des fonctions de classe C 2 sur un ouvert U de C.
Soit f ∈ C 2 (U ). Si z 0 ∈ U , le laplacien de f au point z 0 est défini par :
∆f (z 0 ) =
∂ 2 f
∂x 2 (z 0 ) +
∂ 2 f
∂y 2 (z 0 ).
Avec les notations de 5.2.4, on trouve facilement :
∆f (z 0 ) = 4
∂ 2 f
∂z∂z
(z 0 ) = 4
∂ 2 f
∂z∂z
(z 0 ).
(1)