178
13 • Quelques grands classiques
La restriction f n de f à K n se prolonge en une fonction holomorphe dans un voisinage
de K n . D’autre part, C\K n est connexe.
D’après 13.2.4, il existe un polynôme Q n tel que
|f (z) − Q n (z)| <
1
n
pour tout z ∈ K n .
Si, pour z ∈ C, on pose
P n (z) = Q n (z) + 1 − Q n (0),
alors la suite (P n ) n vérifie les conditions (i) et (ii).
Exercice 13.2. On utilisera la forme suivante du théorème de Baire : si X est un
espace métrique complet, et si (F n ) n est une suite de fermés de X dont la réunion est
X, alors l’un au moins des F n est d’intérieur non vide.
a) Si z ∈ U , la suite
f n (z)
n
est convergente, donc bornée. Le résultat est alors clair.
b) L’application δ étant la borne supérieure d’une suite de fonctions continues, elle
est semi-continue inférieurement. Ainsi, pour λ ∈ R, l’ensemble des z ∈ U vérifiant
δ(z) λ est un fermé de U . Par conséquent, pour tout n ∈ N, ∆ n est un fermé.
L’ensemble ∆ est un espace métrique complet qui est la réunion des ∆ n , n ∈ N.
D’après le théorème de Baire, l’un au moins des ∆ n est d’intérieur non vide.
c) Soient a ∈ U et r > 0 tels que D (a, r) ⊂ U . Ce qui précède prouve qu’il
existe un ouvert non vide V a,r contenu dans D (a, r), et sur lequel la suite (f n ) n
est uniformément bornée. Soit V la réunion des V a,r pour a ∈ U et r > 0. Il est clair
que V est un ouvert dense de U et que la suite (f n ) n est uniformément bornée sur tout
compact de V .
Posons g = f |V et g n = f n |V . Ce qui précède montre que {g n ; n ∈ N} est une partie
rélativement compacte de H(V ) (théorème de Montel). La suite (g n ) n convergeant
simplement vers g sur V , elle converge donc uniformément vers g sur tout compact de
V . D’où g ∈ H(V ).
13 • Quelques grands classiques
La restriction f n de f à K n se prolonge en une fonction holomorphe dans un voisinage
de K n . D’autre part, C\K n est connexe.
D’après 13.2.4, il existe un polynôme Q n tel que
|f (z) − Q n (z)| <
1
n
pour tout z ∈ K n .
Si, pour z ∈ C, on pose
P n (z) = Q n (z) + 1 − Q n (0),
alors la suite (P n ) n vérifie les conditions (i) et (ii).
Exercice 13.2. On utilisera la forme suivante du théorème de Baire : si X est un
espace métrique complet, et si (F n ) n est une suite de fermés de X dont la réunion est
X, alors l’un au moins des F n est d’intérieur non vide.
a) Si z ∈ U , la suite
f n (z)
n
est convergente, donc bornée. Le résultat est alors clair.
b) L’application δ étant la borne supérieure d’une suite de fonctions continues, elle
est semi-continue inférieurement. Ainsi, pour λ ∈ R, l’ensemble des z ∈ U vérifiant
δ(z) λ est un fermé de U . Par conséquent, pour tout n ∈ N, ∆ n est un fermé.
L’ensemble ∆ est un espace métrique complet qui est la réunion des ∆ n , n ∈ N.
D’après le théorème de Baire, l’un au moins des ∆ n est d’intérieur non vide.
c) Soient a ∈ U et r > 0 tels que D (a, r) ⊂ U . Ce qui précède prouve qu’il
existe un ouvert non vide V a,r contenu dans D (a, r), et sur lequel la suite (f n ) n
est uniformément bornée. Soit V la réunion des V a,r pour a ∈ U et r > 0. Il est clair
que V est un ouvert dense de U et que la suite (f n ) n est uniformément bornée sur tout
compact de V .
Posons g = f |V et g n = f n |V . Ce qui précède montre que {g n ; n ∈ N} est une partie
rélativement compacte de H(V ) (théorème de Montel). La suite (g n ) n convergeant
simplement vers g sur V , elle converge donc uniformément vers g sur tout compact de
V . D’où g ∈ H(V ).