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Solutions des exercices
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b) Soit ∆ un disque fermé contenu dans U . Si n ∈ N, on pose :
∆ n = {z ∈ ∆ ; δ(z) n}.
Montrer que les ∆ n sont fermés et qu’il existe au moins un indice n tel que ∆ n soit
d’intérieur non vide.
c) Prouver qu’il existe un ouvert V contenu dans U , dense dans U , et tel que la
restriction de f à V appartienne à H(V ).
SOLUTIONS DES EXERCICES
Exercice 13.1. On note f : C → C l’application définie par f (0) = 1 et f (z) = 0 si
z ∈ C ∗ .
a) Supposons qu’il existe une suite (P n ) n2 vérifiant les trois conditions. Posons :
M = sup{|P n (z)| ; |z| = 1, n 2}.
D’après le principe du maximum, il vient |P n (z)| M pour tout z ∈ D(0, 1) et tout
n 2.
D’après le théorème de Montel, il existe une suite extraite de la suite (P n ) n2 qui
converge uniformément vers f sur tout compact de D(0, 1). L’application f n’étant
pas continue sur D(0, 1), c’est absurde.
b) Pour tout entier n au moins égal à 2, on pose :
K n =
z ∈ C ;
1
n
|z| n
\
z ∈ C ; Re(z) > 0, 0 < Im(z) <
1
n
∪ {0}.
Le compact K n est représenté par le dessin suivant :
.