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13 • Quelques grands classiques
D’après 13.2.12, (i), on a |1 − (z − a)g(z)| < 1 pour tout z ∈ C. On obtient une
contradiction en prenant z = a.
(i) ⇒ (v) Soient a ∈ U \K et L = K ∪{a}. Si C est une composante connexe de U \K
ne contenant pas a (respectivement contenant a) alors C (respectivement C\{a}) est
une composante connexe de U \L, et on obtient ainsi toutes les composantes connexes
de U \L.
Soit g ∈ C (L) définie par g|K = 0 et g(a) = 1. Il est clair que g ∈ L (L).
Ayant déjà montré l’équivalence de (i) et (iv), on voit qu’il existe h ∈ H(U ) vérifiant
h K < 1/2 et |1 − h(a)| < 1/2. D’où |h(a)| > h K et (v).
Remarque. Prenons U = D(0, 5) et K = D (0, 1) ∪ C (0, 2, 3). Alors les
conditions de 13.2.13 ne sont pas vérifiées.
Corollaire 13.2.14. Soit K un compact de C. Les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) C\K est connexe.
(ii) Pour tout ε > 0 et tout f ∈ L (K), il existe un polynôme g tel que f − g K ε.
(iii) Pour tout a ∈ C\K, il existe un polynôme g tel que |g(a)| > g K .
Démonstration. Dire que C\K est connexe signifie que C\K n’a pas de composante connexe relativement compacte dans C. On a alors facilement le résultat d’après
13.2.13 car, si h est une fonction entière et si ε > 0, il existe un polynôme g tel que
h − g K ε.
EXERCICES
Exercice 13.1. Soit (P n ) n2 une suite de polynômes à une indéterminée. On considère
les conditions suivantes :
(i) P n (0) = 1 pour tout n 2.
(ii) Pour tout z ∈ C ∗ , P n (z) tend vers 0 quand n tend vers +∞.
(iii) sup{|P n (z)| ; |z| = 1, n 2} < +∞.
a) Existe-t-il une suite (P n ) n2 vérifiant (i), (ii) et (iii) ?
b) Existe-t-il une suite (P n ) n2 vérifiant (i) et (ii) ?
Exercice 13.2. Soient U un ouvert non vide de C et (f n ) n une suite d’éléments de
H(U ) qui converge simplement sur U vers une application f de U dans C. Si z ∈ U ,
on pose :
δ(z) = sup{|f n (z)| ; n ∈ N} ∈ R + ∪ {+∞}.
a) Prouver que δ(z) ∈ R + pour tout z ∈ U .
13 • Quelques grands classiques
D’après 13.2.12, (i), on a |1 − (z − a)g(z)| < 1 pour tout z ∈ C. On obtient une
contradiction en prenant z = a.
(i) ⇒ (v) Soient a ∈ U \K et L = K ∪{a}. Si C est une composante connexe de U \K
ne contenant pas a (respectivement contenant a) alors C (respectivement C\{a}) est
une composante connexe de U \L, et on obtient ainsi toutes les composantes connexes
de U \L.
Soit g ∈ C (L) définie par g|K = 0 et g(a) = 1. Il est clair que g ∈ L (L).
Ayant déjà montré l’équivalence de (i) et (iv), on voit qu’il existe h ∈ H(U ) vérifiant
h K < 1/2 et |1 − h(a)| < 1/2. D’où |h(a)| > h K et (v).
Remarque. Prenons U = D(0, 5) et K = D (0, 1) ∪ C (0, 2, 3). Alors les
conditions de 13.2.13 ne sont pas vérifiées.
Corollaire 13.2.14. Soit K un compact de C. Les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) C\K est connexe.
(ii) Pour tout ε > 0 et tout f ∈ L (K), il existe un polynôme g tel que f − g K ε.
(iii) Pour tout a ∈ C\K, il existe un polynôme g tel que |g(a)| > g K .
Démonstration. Dire que C\K est connexe signifie que C\K n’a pas de composante connexe relativement compacte dans C. On a alors facilement le résultat d’après
13.2.13 car, si h est une fonction entière et si ε > 0, il existe un polynôme g tel que
h − g K ε.
EXERCICES
Exercice 13.1. Soit (P n ) n2 une suite de polynômes à une indéterminée. On considère
les conditions suivantes :
(i) P n (0) = 1 pour tout n 2.
(ii) Pour tout z ∈ C ∗ , P n (z) tend vers 0 quand n tend vers +∞.
(iii) sup{|P n (z)| ; |z| = 1, n 2} < +∞.
a) Existe-t-il une suite (P n ) n2 vérifiant (i), (ii) et (iii) ?
b) Existe-t-il une suite (P n ) n2 vérifiant (i) et (ii) ?
Exercice 13.2. Soient U un ouvert non vide de C et (f n ) n une suite d’éléments de
H(U ) qui converge simplement sur U vers une application f de U dans C. Si z ∈ U ,
on pose :
δ(z) = sup{|f n (z)| ; n ∈ N} ∈ R + ∪ {+∞}.
a) Prouver que δ(z) ∈ R + pour tout z ∈ U .