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13.2 Théorème de Runge
175
Supposons que
P soit un compact de U (on dit alors que P est relativement compacte
dans U ). Il résulte de la définition d’un compact que
P est un compact de C, donc est
fermé dans C. Par suite,
P = P .
Lemme.
(i) Soient C une composante connexe de U \K et ∂C sa frontière. On a U ∩∂C ⊂ K.
Si C est une partie relativement compacte de U , pour tout f ∈ H(U ), on a
sup{|f (z)| ; z ∈ C} f K .
(ii) Soit C une composante connexe de C\K contenue dans U . Alors C est contenue dans une composante connexe de U \K. Si C est bornée, c’est une partie
relativement compacte dans U .
Démonstration. (i) Supposons l’existence de a ∈ (D ∩ ∂C)\K. Il existe un disque
D(a, r) contenu dans U \K. On a D(a, r) ∩ C = ∅, donc D(a, r) ⊂ C puisque C est
une composante connexe de U \K. C’est absurde puisque ∂C = C\C (car C est un
ouvert de C).
Si C est une partie relativement compacte de U , on a ∂C ⊂ U , donc ∂C ⊂ K. La
dernière assertion résulte alors de 7.2.5.
(ii) Comme C est une partie connexe de U \K, elle est contenue dans une composante
connexe C 0 de U \K. La maximalité de C implique alors que C = C 0 . Si C est
bornée, alors C = C ∪ ∂C est un compact. D’après (i), où l’on prend U = C, on a
∂C ⊂ K. D’où C ⊂ U ∪ K = U .
Théorème 13.2.13. (Théorème de Runge). Soient K un compact de C et U un
ouvert de C contenant K. Les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) Aucune composante connexe de U \K n’est relativement compacte dans U .
(ii) Toute composante connexe bornée de C\K a une intersection non vide avec C\U .
(iii) Pour tout ε > 0 et tout f ∈ L (K), il existe une fraction rationnelle g sans pôle
dans U et vérifiant f − g K ε.
(iv) Pour tout ε > 0 et tout f ∈ L (K), il existe g ∈ H(U ) vérifiant f − g K ε.
(v) Pour tout a ∈ U \K, il existe f ∈ H(U ) vérifiant |f (a)| > f K .
Démonstration. (i) ⇒ (ii) C’est clair d’après 13.2.12, (ii).
(ii) ⇒ (iii) Résulte de 13.2.9.
(iii) ⇒ (iv) C’est évident.
(v) ⇒ (i) Si U \K a une composante connexe C relativement compacte dans U ,
l’inégalité de (v) n’est pas vérifiée d’après 13.2.12, (i).
(iv) ⇒ (i) Supposons que U \K possède une composante connexe C relativement
compacte dans U . Soit a ∈ C et δ = sup{|z − a| ; z ∈ K}. L’application
f : z → (z−a) −1 appartenant à L (K), il existe g ∈ H(U ) vérifiant f −g K < δ −1 ,
donc :
sup{|1 − (z − a)g(z)| ; z ∈ K} < 1.
13.2 Théorème de Runge
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Supposons que
P soit un compact de U (on dit alors que P est relativement compacte
dans U ). Il résulte de la définition d’un compact que
P est un compact de C, donc est
fermé dans C. Par suite,
P = P .
Lemme.
(i) Soient C une composante connexe de U \K et ∂C sa frontière. On a U ∩∂C ⊂ K.
Si C est une partie relativement compacte de U , pour tout f ∈ H(U ), on a
sup{|f (z)| ; z ∈ C} f K .
(ii) Soit C une composante connexe de C\K contenue dans U . Alors C est contenue dans une composante connexe de U \K. Si C est bornée, c’est une partie
relativement compacte dans U .
Démonstration. (i) Supposons l’existence de a ∈ (D ∩ ∂C)\K. Il existe un disque
D(a, r) contenu dans U \K. On a D(a, r) ∩ C = ∅, donc D(a, r) ⊂ C puisque C est
une composante connexe de U \K. C’est absurde puisque ∂C = C\C (car C est un
ouvert de C).
Si C est une partie relativement compacte de U , on a ∂C ⊂ U , donc ∂C ⊂ K. La
dernière assertion résulte alors de 7.2.5.
(ii) Comme C est une partie connexe de U \K, elle est contenue dans une composante
connexe C 0 de U \K. La maximalité de C implique alors que C = C 0 . Si C est
bornée, alors C = C ∪ ∂C est un compact. D’après (i), où l’on prend U = C, on a
∂C ⊂ K. D’où C ⊂ U ∪ K = U .
Théorème 13.2.13. (Théorème de Runge). Soient K un compact de C et U un
ouvert de C contenant K. Les conditions suivantes sont équivalentes :
(i) Aucune composante connexe de U \K n’est relativement compacte dans U .
(ii) Toute composante connexe bornée de C\K a une intersection non vide avec C\U .
(iii) Pour tout ε > 0 et tout f ∈ L (K), il existe une fraction rationnelle g sans pôle
dans U et vérifiant f − g K ε.
(iv) Pour tout ε > 0 et tout f ∈ L (K), il existe g ∈ H(U ) vérifiant f − g K ε.
(v) Pour tout a ∈ U \K, il existe f ∈ H(U ) vérifiant |f (a)| > f K .
Démonstration. (i) ⇒ (ii) C’est clair d’après 13.2.12, (ii).
(ii) ⇒ (iii) Résulte de 13.2.9.
(iii) ⇒ (iv) C’est évident.
(v) ⇒ (i) Si U \K a une composante connexe C relativement compacte dans U ,
l’inégalité de (v) n’est pas vérifiée d’après 13.2.12, (i).
(iv) ⇒ (i) Supposons que U \K possède une composante connexe C relativement
compacte dans U . Soit a ∈ C et δ = sup{|z − a| ; z ∈ K}. L’application
f : z → (z−a) −1 appartenant à L (K), il existe g ∈ H(U ) vérifiant f −g K < δ −1 ,
donc :
sup{|1 − (z − a)g(z)| ; z ∈ K} < 1.