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13 • Quelques grands classiques
Corollaire 13.2.10. Soit K un compact de C tel que C\K soit connexe. Si ε > 0 et
f ∈ L (K), il existe un polynôme g tel que f − g K ε.
Démonstration. Cela résulte immédiatement de la preuve de 13.2.8.
13.2.11. Donnons un exemple d’utilisation de 13.2.10. Soit f : C → C définie par
f (z) = 1 (respectivement f (z) = 0, f (z) = −1) si Im(z) > 0 (respectivement
Im(z) = 0, Im(z) < 0). On va prouver qu’il existe une suite (P n ) n de polynômes
telle que, pour tout z ∈ C, on ait :
lim
n
P n (z) = f (z).
Si n 2, on pose :
K n = D
(0, n)\
z ∈ C ; 0 < Im(z) <
1
n
, f n = f |K n ,
U n =
z ∈ C ; | Im(z)| >
1
n 2
∪
z ∈ C ; | Im(z)| <
1
2n 2
.
L’ensemble K n est figuré ci-dessous :
On a K n ⊂ U n , et f |U n ∈ H(U n ), car f est constante sur les trois composantes
connexes de U n . Ainsi, f n ∈ L (K n ). D’après 13.2.10, il existe un polynôme P n tel
que
f n − P n Kn
1
n
pour tout n 2. Comme C est la réunion des K n , la suite (P n ) n répond à la question.
13.2.12. Soient K un compact de C, U un ouvert de C contenant K, P une partie de
U \K,
P son adhérence dans U , et P son adhérence dans C. On a
P ⊂ P .